Давядзенне да абсурду

Давядзенне да абсурду або доказ ад «процілеглага» (лац. Reductio ad absurdum) — адзін з самых выкарыстоўваных метадаў доказу сцвярджэнняў. Гэты спосаб заснаваны на праўдзівасці формулы $((A\Rightarrow B)\land \neg B)\Rightarrow \neg A$ ў класічнай логіцы і законе двайнога адмаўлення.

Доказ сцвярджэння $A$ праводзіцца так. Спачатку прымаюць здагадку, што сцвярджэнне $A$ няправільна, а затым даказваюць, што пры такой здагадцы было бы дакладна некаторае сцвярджэнне $B$, якое загадзя памылкова. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што зыходная здагадка была памылковай, і таму правільнае сцвярджэнне $\neg \neg A$, якое па закону двайнога адмаўлення раўназначна сцвярджэнню $A$.

У інтуіцыйнай логіцы закон выключанага трэцяга не працуе, таму такія доказы ў ёй не прымаюцца.

Прыклад

Доказ ірацыянальнасці ліку ${\sqrt {2}}$.

Дапусцім процілеглае: хай ${\sqrt {2}}$ — рацыянальны лік. Тады яго можна прадставіць у выглядзе нескарачальнага дробу ${\frac {m}{n}}$, дзе $m$ і $n$ — цэлыя лікі. Узвядзём меркаваную роўнасць у квадрат:

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}$.

Адгэтуль варта, што $m^{2}$ цотна, значыць, цотна і $m$. Такім чынам, $m^{2}$ падзяляецца на 4, значыць, $n^{2}$ і $n$ таксама цотныя. Гэтае сцвярджэнне супярэчыць нескарачальнасці дробу ${\frac {m}{n}}$. Значыць, зыходнае сцвярджэнне памылкова, і ${\sqrt {2}}$ — ірацыянальны лік.