Парадокс бульбы

Парадокс бульбы — прыклад матэматычнага разліку, вынік якога супярэчыць інтуіцыі. Гэты парадокс прадугледжвае высушванне бульбы на нязначную на першы погляд велічыню, аднак вылічваемае змяненне масы аказваецца больш інтуітыўна чаканага.

Візуалізацыя парадоксу бульбы: сінія квадрацікі прадстаўляюць 99 частак вады, а аранжавы — 1 частку сухога рэчыва (левы малюнак). Каб давесці суадносіны сухога рэчыва і вады да 1:49, колькасць вады памяншаецца да 49, каб захаваць аднолькавую колькасць сухой часткі (сярэдні малюнак). Гэта эквівалентна падваенню канцэнтрацыі сухой часткі (малюнак справа)

У рэчаіснасці белая бульба змяшчае каля 79 % вады; 99 % вады змяшчае, напрыклад, агар-агар

Апісанне

Парадокс фармулюецца такім чынам:

«Маецца 100 кг бульбы, якая мае 99 працэнтаў вады па масе. Бульба высушваецца да значэння 98 працэнтаў вады. Якая цяпер маса бульбы?»

Падручнік The Universal Book of Mathematics Дэвіда Дарлінга вызначае задачу так:

«Фрэд прыносіць дадому 100 фунтаў бульбін, якія (будучы ідэальнымі матэматычнымі бульбінамі) на 99 працэнтаў складаюцца з вады. Ён пакідае іх на ноч сушыцца звонку, так, што тыя ўтрымліваюць 98 працэнтаў вады. Якая іх новая вага? Нечаканы адказ — 50 фунтаў»

У класіфікацыі парадоксаў Куайна парадокс бульбы належыць да «пэўных».

Простыя тлумачэнні

Спосаб 1

Адно з тлумачэнняў пачынае з таго, што першапачаткова маса сухога рэчыва складае 1 кг, што складае 1 % ад 100 кг. Затым задаецца пытанне: 1 кг — гэта 2 % ад колькіх кг? Для таго, каб гэтая доля стала ў два разы большай, агульная маса павінна быць у два разы меншай.

Спосаб 2

100 кг бульбы, 99 % вады (па масе), азначае 99 кг вады і 1 кг сухога астатку. Гэта суадносіны 1:99.

Калі колькасць вады паменшыцца да 98 %, сухое рэчыва складае 2 % ад масы. Суадносіны 2:98 памяншаецца да 1:49. Паколькі сухое рэчыва па-ранейшаму важыць 1 кг, вада павінна важыць 49 кг, што дае ў адказе сумарную масу 50 кг.

Тлумачэнні з дапамогай алгебры

Спосаб 1

Пасля выпарэння вады, астатняя агульная маса $x$ змяшчае 1 кг чыстай бульбы і $(98/100)$ вады. Гэта выяўляецца ў раўнанні:

${\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}\end{aligned}}$

рашэнне якога дае $x$ = 50 кг.

Спосаб 2

Маса вады ў свежай бульбе складае $0.99\cdot 100$.

Калі $x$ — гэта маса вады, страчанай пры сушцы бульбы, то $0,98(100-x)$ — гэта вага вады ў высушанай бульбе. Таму:

$0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x$

Раскрыццё дужак і спрашчэнне:

${\begin{aligned}99-(98-0,98x)&=x\\99-98+0,98x&=x\\1+0,98x&=x\end{aligned}}$

Адніманне множніка $x$ з кожнага боку:

${\begin{aligned}1+0,98x-0,98x&=x-0,98x\\1&=0,02x\end{aligned}}$

І рашэнне:

${\frac {1}{0,02}}={\frac {0,02x}{0,02}}$

Што дае масу страчанай вады:

$50=x$

І масу высушанай бульбы:

$100-x=100-50=50$

Следства

Адказ захоўваецца пры любым падваенні долі сухога рэчыва. Напрыклад, калі бульба першапачаткова змяшчае 99,999 % вады, зніжэнне працэнта да 99,998 % па-ранейшаму патрабуе памяншэння масы ўдвая.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Potato Paradox (англ.). matworld.wolfram.com.