Размовы:Гравітацыйная сінгулярнасць

Да праблемы гравітацыйнай сінгулярнасці

Трэба дапоўніць у артыкуле наступнае. Гравітацыйная сінгулярнасць пры калапсе, як і касмалагічная сінгулярнасць, азначаюць адзiн і той жа стан матэрыі - стан яе бясконцай шчыльнасці. Таму рашэнні гэтых праблем павінны быць ўзаемазлучанымі.

Матэматычна праблема гравітацыйнай сінгулярнасці можа быць вырашана як ў артыкуле, §5, аналагічна вырашэння праблемы касмалагічнае сінгулярнасці. Сутнасць рашэння заключаецца ў тым, што самай сінгулярнасці павінен быць прыпісаны мнагамерны характар. У гэтым выпадку, у любой малой вобласці $n$-мернай прасторы (гэта значыць, у сінгулярнасці) можна свабодна размясціць трохмерную прастору любой працягласці без змены шчыльнасці рэчыва, якое знаходзіцца ў гэтай прасторы.

Наглядны прыклад: доўгую тонкую 1-мерную нітку даўжынёй $r_{1}$ можна згарнуць у 2-мерную спіраль радыусам $r_{2}$ або ў 3-мерны клубок радыусам $r_{3}$, з нязменнай адлегласцю $d$ паміж віткамі і атамамі ніткі, тады $r_{1}>r_{2}>r_{3}$. З гэтага прыкладу відаць, што чым больш памернасць утваранай формы пры згортванні ніткі, тым кампактней можна размясціць саму нітку без змены шчыльнасці рэчыва ніткі. Гэта значыць, што павялічваючы памернасць прасторы мы тым самым павялічваем кампактнасць размяшчэння рэчывы ў прасторы без змены яго шчыльнасці. Вылічэнню падлягае толькі неабходная нам памернасць сінгулярнасці (малой вобласці прасторы), гл. нiжэй:

Аб сінгулярнасцi  

Рашоткi

Разгледзім наглядны прыклад (гл. кнiгу: Мирозданье постигая ...: [физико-философские очерки], Александр Климец, выд-во Питер ПЭН, 2007, с.110-115, Нацыянальная бібліятэка Беларусі). Возьмем звычайную кнігу, 3-мерны аб'ект. Колькасць інфармацыі ў выглядзе літар займае ў кнізе аб'ём $V$. Хай гэтую ж колькасць інфармацыі неабходна размясціць у 2-мернай прасторы, гэта значыць на плоскасці. У выглядзе радкоў інфармацыя зойме плошчу $S$ з бокам квадрата $a(2)$. Ясна, што $a(2)>a(3)$, дзе $a(3)$ - бок 3-мернага куба, які паказвае кнігу.

Гэтая ж колькасць інфармацыі, змешчаная ў аднамернай прасторы, у выглядзе радка раcтянется у даўжыню велічынёй $a(1)$, прычым

$a(1)>a(2)>a(3)$

Інтуітыўна ясна, што пры павелічэнні ліку вымярэнняў прасторы для размяшчэння адной і той жа колькасці інфармацыі (у выглядзе літар) нам спатрэбіцца $n$-мерны куб з усё меншым бокам $a(n)$ адпаведнага $n$-мернага куба, г.зн.

$a(1)>a(2)>\cdots >a(k)>\cdots >a(n)$

Няцяжка паказаць, што $a(n)$ і $a(k)$ звязаны наступнымi суадносінамі

$a(n)=a(k)^{k/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Сапраўды, (1) вынікае з роўнасці аб'ёмаў інфармацыі (або рэчывы) у тым ці іншым $n$-мерным прасторы

$V(1)=V(2)=V(k)=\cdots =V(n)$

дзе $V(n)$ - «аб'ёмы» $n$-мерных прастор, якія складаюць ў сабе аднолькавую (роўную) колькасць адзінак інфармацыі (або адзінак рэчывы - атамаў), размешчаных у вузлах $n$-мерных кубічных рашотак з крокам d ў той ці іншай n-мернай прасторы (глядзi мал.1).

І так як

$V(1)=a(1)^{1};V(2)=a(2)^{2};\cdots ;V(k)=a(k)^{k};\cdots ;V(n)=a(n)^{n};$

то адсюль і вынiкае (1). Тут $a(1)=d\cdot t$, дзе $t$ - лік крокаў.

Для 3-мернай прасторы з (1) атрымаем наступные суадносіны

$a(n)=a(3)^{3/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

З суадносін (2) вынiкае цікавая выснова. Хай нам неабходна размясціць ўвесь назіраны Сусвет разам з рэчывам ў элементарным $n$-мерным «кубіку» з бокам $a(n)$, роўным велічыні $10\cdot 10^{-33}cm=10\cdot \ell _{P}$ (гэта значыць дзесяці адзінкам планкаўской даўжыні), дзе $\ell _{P}=10^{-33}cm$ - адна адзінка планкаўской даўжыні. Колькі вымярэнняў прасторы нам для гэтага спатрэбіцца?

Памер назіранага Сусвету роўны $10^{28}$ см. Ці, у адзінках планкаўской даўжыні, $10^{61}\ell _{P}$ планкаўскiх адзінак даўжыні. З суадносін (2) маем

$10^{1}\ell _{P}=(10^{61}\ell _{P})^{3/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Адсюль n=183. З (3) відаць, што ўжо пры 183-х вымярэннях прасторы ўвесь назіраны Сусвет можна размясціць у 183-мерным «кубіку» з бокам $10\ell _{P}$, гэта значыць фактычна ў «кропцы» (183-мернай).

Шчыльнасць рэчывы ў такім «кубіку» застаецца роўнай шчыльнасці рэчыва, які знаходзіцца ў 3-мернай прасторы назіранага Сусвету. Сапраўды, шчыльнасць рэчывы ў $n$-мернай прасторы вызначаецца наступным чынам: $\rho (n)=M/V(n)$, дзе $M$ - маса рэчыва назіранага Сусвету, $V(n)$ - аб'ём $n$-мернага прасторы, $\rho (n)$ - шчыльнасць рэчывы ў $n$-мернай прасторы. І так як, па ўмове, $V(3)=V(183)$, то і $\rho (3)=\rho (183)$.

Наглядны прыклад: згортванне аднамернай ніткі даўжынёй $r_{1}$ у плоскі двухмерны «кілімок» ў выглядзе спіралі дыяметрам $r_{2}$ або ў трохмерны клубок дыяметрам $r_{3}$. Ясна, што $r_{1}>r_{2}>r_{3}$, г.зн. кампактнасць размяшчэння ніткі расце з павелічэннем памернасці прасторы, аднак шчыльнасць размяшчэння рэчывы ніткі застаецца ранейшай (атамы рэчыва ніткі па ранейшаму будуць размешчаны на адлегласці d адзін ад аднаго ў кірунку кожнай $n$-ай каардынатнай восі, (гл. мал.1).

Відавочна, што ў бесконечномерной «кропцы» можна размясціць любую канечнамерную прастору.

Зыходзячы з выкладзенага, можна меркаваць, што сінгулярная «кропка» (г.зн. вельмі малая вобласць прасторы), з якой, згодна з агульнай тэорыі адноснасці, паўстаў наш Сусвет, была шматмернай. Можна таксама выказаць здагадку, што пры калапсе чорных дзюр пры дасягненні рэчывам чорнай дзіркі пэўнай шчыльнасці калапсуючыя рэчыва ў цэнтры чорнай дзіркі выціскаецца ў іншыя вымярэння прасторы.

Alexander Klimets (размовы) 09:04, 24 лютага 2017 (+03)