Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы з радкоў і слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы абазначаецца () або . Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне

правіць

Хай   — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы   з’яўляецца:

  • нуль, калі   — нулявая матрыца;
  • лік  , дзе   — мінор матрыцы   парадку  , а   — аблямоўваючы яго мінор парадку  , калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы   парадку   роўныя нулю ( ). Тады  , калі яны існуюць.

Звязаныя азначэнні

правіць
  • Ранг   матрыцы   памеру   называюць поўным, калі  .
  • Базісны мінор матрыцы   — любы ненулявы мінор матрыцы   парадку  , дзе  .
    • Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці

правіць
  • Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай   — базісны мінор матрыцы  , тады:
    1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
    2. любы радок (слупок) матрыцы   ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
  • Следства:
    • Калі ранг матрыцы роўны  , то любыя   радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
    • Калі   — квадратная матрыца, і  , то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
    • Хай  , тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная  .
  • Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне   для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі  , то іх рангі роўныя.
  • Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
    • Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
    • Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

правіць

Няхай   — матрыца памеру   над полем   (або  ). Няхай   — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае   ў стандартным базісе; гэта значыць, што  . Ранг матрыцы   — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння  .

Метады

правіць

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

  • Метад элементарных пераўтварэнняў
Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.
  • Метад аблямоўваючых мінораў
Няхай ў матрыцы   знойдзены ненулявы мінор  -га парадку  . Разгледзім усе міноры  -га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор  ; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны  . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.

Літаратура

правіць