Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі $J$ цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела $J_{C}$ адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела $m$ на квадрат адлегласці $d$ паміж восямі:

Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$

дзе

$J_{C}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,

$J$ — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,

$m$ — маса цела,

$d$ — адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова

Момант інерцыі, паводле азначэння:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r'}}_{i})^{2}\,\!$

Радыус-вектар ${\vec {r'}}_{i}\,\!$ можна распісаць як суму двух вектараў:

${\vec {r'}}_{i}={\vec {r}}_{i}+{\vec {d}}\,\!$,

дзе ${\vec {d}}$ — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {d}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {d}})^{2}\,\!$

Выносячы за суму ${\vec {d}}$, атрымаем:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2{\vec {d}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!$

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0\,\!$

Тады:

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!$

Адкуль і вынікае шуканая формула:

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$,

дзе $J_{C}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю $C$) роўны

$J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.$

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

$J=J_{C}+md^{2}\,\!$

дзе $d$ — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю $C$. У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле $d=L/2$:

$J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.$

Пералік тэнзара інерцыі

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар $\mathbf {J} _{ij}$ адносна адвольнага пункта з тэнзара $\mathbf {I} _{ij}$ адносна цэнтра мас. Няхай $\mathbf {a}$ — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

$\mathbf {J} _{ij}=\mathbf {I} _{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),$

дзе

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {\hat {x}} +a_{2}\mathbf {\hat {y}} +a_{3}\mathbf {\hat {z}}$ — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а $\delta _{ij}$ — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры $i=j$) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама

• Момант інерцыі
• Спіс момантаў інерцыі