Адкрыць галоўнае меню

Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

(Пасля перасылкі з Тэарэма Штэйнера)
Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела на квадрат адлегласці паміж восямі:

дзе

— вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
— шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
 — маса цела,
 — адлегласць паміж указанымі восямі.

ВысноваПравіць

Момант інерцыі, паводле азначэння:

 

Радыус-вектар   можна распісаць як суму двух вектараў:

 ,

дзе   — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

 

Выносячы за суму  , атрымаем:

 

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

 

Тады:

 

Адкуль і вынікае шуканая формула:

 ,

дзе   — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

ПрыкладПравіць

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю  ) роўны

 

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

 

дзе   — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю  . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле  :

 

Пералік тэнзара інерцыіПравіць

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар   адносна адвольнага пункта з тэнзара   адносна цэнтра мас. Няхай   — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

 

дзе

  — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а   — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры  ) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксамаПравіць