А́белева гру́па (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя падпарадкоўваецца яшчэ і перамяшчальнаму закону, г.зн. для любых элементаў a і b гэтай групы справядліва тоеснасць

Часта аперацыю, для якой справядлівы перамяшчальны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам «» (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака «» на ўзор «».

Строгае азначэнне правіць

Аксіёмы абелевай групы правіць

А́белевай гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй   якая задавальняе наступныя ўмовы:

  1. Перамяшчальны закон (камутатыўнасць): для любых   справядліва:
     
  2. Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых   справядліва:
     
  3. Існуе нейтральны элемент   г.зн. такі элемент, што для любога   справядліва:
     
  4. Для кожнага элемента   існуе адваротны элемент   г.зн. такі элемент, што
     

Прыклады правіць

  • Для цэлых лікаў і аперацыі складання "+", абазначаных (Z, +), аперацыя + камбінуе два цэлых лікі каб стварыць трэці, складанне асацыятыўнае, нейтральным элементам з'яўляецца нуль, кожны цэлы лік n мае адваротны элемент -n, а складанне камутатыўнае, таму што m + n = n + m для давольных цэлых лікаў m і n.
  • Кожная цыклічная група з'явўляецца абелевай, таму што калі x, y належаць да G, то xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Такім чынам цэлыя лікі Z ствараюць абелеву групу з аперацыяй складання, як і астачы па модулю n , Z/nZ.
  • Кожнае колца з'яўляецца абелевай групай, адносна аперыцыі складання. Усе элементы колца, да якіх існуе адваротны элемент адносна множання, ствараюць абелеву мультыплікатыўную групу. У прыватнасці, рэчаісныя лікі з'яўляюцца групай адносна складання. а ўсе ненулявыя рэчаісныя лікі ствараюць абелеву групу адносна множання.

Літаратура правіць

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.