Адваротная функцыя

Адваро́тная фу́нкцыяфункцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыя і яе адваротная функцыя . Калі , то

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f −1.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

АзначэннеПравіць

Функцыя   з'яўляецца адваротнаю да функцыі  , калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

  •   для ўсіх  
  •   для ўсіх  

ІснаваннеПравіць

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне   адносна  . Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да  , не існуе. Такім чынам, функцыя   абарачальная на прамежку   тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі   выразіць   з ураўнення   можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя   манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад,   з'яўляецца адваротнаю да   на  , хоць на прамежку   адваротная функцыя іншая:  .

ПрыкладыПравіць

  • Калі  , дзе   то  
  • Калі  , дзе   вызначаныя пастаянныя і  , то  
  • Калі  , то  

УласцівасціПравіць

  • Вобласцю вызначэння   з'яўляецца мноства  , а вобласцю значэнняў — мноства  .
  • Па азначэнню маем:
 

ці

 
 

або карацей

 
 

дзе   абазначае кампазіцыю функцый, а  тоесныя адлюстраванні на   і   адпаведна.

  • Функцыя   з'яўляецца адваротнаю да  :
 .
  • Няхай  біекцыя. Няхай   яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый   і   сіметрычныя адносна прамой  .

Раскладанне ў ступенны радПравіць

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

 

дзе каэфіцыенты   задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

 

Гл. таксамаПравіць