Біектыўная функцыя.

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з'яўляецца адначасова і сюр'ектыўным, і ін'ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць ўзаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць ўзаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноства называюцца роўнамагутнымі. З пункта погляду тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

АзначэннеПравіць

Функцыя   называецца біекцыяй (і пазначаецца  ), калі яна:

  1. Пераводзіць розныя элементы мноства   у розныя элементы мноства   (ін'ектыўнасць).  Іначай кажучы,
    •  .
  2. Кожны элемент з   мае свой правобраз (сюр'ектыўнасць). Іначай кажучы,
    •  .

ПрыкладыПравіць

  • Тоеснае адлюстраванне   на мностве   біектыўнае.
  •     — біектыўныя функцыі з   у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з'яўляецца біекцыяй з   у сябе.
  •    — біектыўная функцыя з   у  .
  •    не з'яўляеца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім  .
  • Строга манатонная і непрарыўнаяя функцыя   з'яўляецца біекцыяй з адрэзка   на адрэзак  .

УласцівасціПравіць

 
Кампазіцыя ін'екцыі і сюр'екцыі, якая дае біекцыю.
  • Функцыя   з'яўуляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя   такая, што
  и  
  • Калі функцыі   і   біектыўныя, то і кампазіцыя функцый   біектыўная, у гэтым выпадку  . Коратка: кампазіцыя біекцый з'яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі   біектыўная, то мы можам казаць толькі, што   ін'ектыўная, а   сюр'ектыўная.

КрыніцыПравіць