Адкрыць галоўнае меню

Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

  1. Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
  2. Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
  3. Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы. Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства  пазначаецца праз . Часам сустракаюцца абазначэнні , і .

АзначэннеПравіць

Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік  , пры каторым між   і   можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам:   азначае, што мноства   можна ін'ектыўна адлюстраваць на  . Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей   і   вынікае, што  . Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў   і   выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей   або  .

Звязаныя азначэнніПравіць

  • Магутнасць мноства натуральных лікаў   пазначаецца сімвалам   («алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць   (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца   (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.
  • Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам   . Меркаванне аб тым, што  , называецца кантынуум-гіпотэзай.

ПрыкладыПравіць

  • Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага   пры некаторым неадмоўным цэлым  . Лік   абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры   мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі  , то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з   у   (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства   і   маюць розную магутнасць.
  • Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў  . Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца:
    • Мноства   пры любым натуральным  . Адпаведнасць:  
    • Мноства  . Адпаведнасць:  .
    • Мноства цэлых лікаў  . Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага    яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
    • Мноства пар натуральных лікаў  .
    • Мноства рацыянальных лікаў   ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства   (нескарачальнаму дробу   выгляду адпавядае пара лікаў  . Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.
  • Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству  , называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

УласцівасціПравіць

  • Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
  • Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад  .
  • Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
  • Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мноства A мае большую моцнасць, чым А, іначай кажучы  .
  • З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў  здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.

ЛітаратураПравіць

  • Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 758-760.
  • Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.