Мнагачле́н, або мнагаскла́д[1], паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў[2], г.зн. складнікаў выгляду

Графік кубічнага мнагачлена

дзе — пэўны лік (каэфіцыент), x1, x2, ... ,xn — зменныя, k1, k2, ... ,kn — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені n ад адной зменнай x мае выгляд:

дзе a0, a1, ... ,an — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, x2x/4 + 7 − мнагачлен, а x2 − 4/x + 7x3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/x) утрымлівае дзяленне на зменную x, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет [3].

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

 

дзе   − сталыя каэфіцыенты, а   − зменная.

Прыклад:  

Мнагачлен ад k зменных − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

 

дзе   − сталыя каэфіцыенты,   − зменныя,   − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад:   − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік  

Характарыстыкі

правіць

Ступенню адначлена  , дзе  , называецца велічыня  .

У выпадку   (г.зн. t = 0) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці:  

Прыклад:  

Ступенню мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад:  

Простыя ўласцівасці

правіць
  • Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
  • Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
  • Вытворная мнагачлена anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 роўная мнагачлену nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + ... + 2a2x + a1.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:

 

Прыклады графікаў

правіць

Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.

  • Графік нулявога мнагачлена
f(x) = 0
вось x.
  • Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)
f(x) = a0, дзе a0 ≠ 0,
лінія, паралельная восі x, якая перасякае вось y у пункце (0,a0).
  • Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)
f(x) = a0 + a1x , дзе a1 ≠ 0,
нахіленая прамая, што перасякае вось y у пункце (0,a0) і мае вуглавы каэфіцыент a1.
  • Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2, дзе a2 ≠ 0
парабала.
  • Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, дзе a3 ≠ 0
кубічная крывая.
  • Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn , дзе an ≠ 0 і n ≥ 2
з'яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

Гл. таксама

правіць

Зноскі

правіць
  1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. БЭ ў 18 т. Т. 10. Мн., 2000.
  3. Florian Cajori. A History of Mathematics. — AMS, 1991. — ISBN 978-0-8218-2102-2.|[1]

Літаратура

правіць
  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.