Матрыца Якобі

Не блытаць з Трохдыяганальная матрыца.

Матрыца Яко́бі адлюстравання $\mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ у пункце $x\in \mathbb {R} ^{n}$ апісвае галоўную лінейную частку адвольнага адлюстравання $\mathbf {u}$ у пункце $x$.

Названа ў гонар нямецкага матэматыка Карла Яко́бі.

Азначэнне

Няхай вызначана адлюстраванне $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,$ якое ў некаторым пункце x мае ўсе частковыя вытворныя першага парадку. Матрыца $J$, састаўленая з частковых вытворных гэтых функцый у пункце x, называецца матрыцаю Якобі дадзенай сістэмы функцый.

$J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}$

Звязаныя азначэнні

• Калі $m=n$, то вызначнік $|J|$ матрыцы Якобі называецца вызначнікам Якобі ці якабія́нам сістэмы функцый $u_{1},\ldots ,u_{n}$.
• Адлюстраванне называюць нявыраджаным, калі яго матрыца Якобі мае найбольшы магчымы ранг:

  $\operatorname {rank} J=\min(m,n).$

Уласцівасці

• Калі ўсе $u_{i}$ непарыўна дыферэнцавальныя ў наваколлі $\mathbf {x} _{0}$, то

  $\mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|).$

• Няхай $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}$ — дыферэнцавальныя адлюстраванні, $J_{\varphi },J_{\psi }$ — іх матрыцы Якобі. Тады матрыца Якобі кампазіцыі адлюстраванняў роўная здабытку іх матрыц Якобі:

  $J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x).$