Біпалярная сістэма каардынат

Біпалярныя каардынаты — артаганальная сістэма каардынат на плоскасці, заснаваная на кругах Апалонія. Для пераходу з біпалярных каардынат у дэкартавы каардынаты, служаць наступныя формулы:

Біпалярная сістэма каардынат

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.$

дзе $0\leqslant \sigma <\pi$, $-\infty <\tau <\infty$.

Каэфіцыенты Ламэ:

$L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.$

Аператар Лапласа ў біпалярных каардынатах:

$\Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).$

У прасторы біпалярныя каардынаты абагульняюцца бісферычнымі.