Віртуальная чорная дзірка

Віртуальная чорная дзірка — гіпатэтычны аб’ект квантавай гравітацыі: чорная дзірка, якая ўзнікла ў выніку квантавай флуктуацыі прасторы-часу. З’яўляецца адным з прыкладаў так званай квантавай пены і гравітацыйным аналагам віртуальных электрон-пазітронных пар у квантавай электрадынаміцы.

Механізм узнікнення

З’яўленне віртуальных чорных дзір на планкаўскім маштабе з’яўляецца следствам суадносін нявызначанасцяў

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$,

дзе $R_{\mu }$ — кампанента радыуса крывізны малой вобласці прасторы-часу; $x_{\mu }$ — каардыната малой вобласці; $\ell _{P}$ — планкаўская даўжыня; $\hbar$ — пастаянная Планка; $G$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана; $c$ — хуткасць святла. Названыя суадносіны нявызначанасцяў з’яўляюцца іншай формай суадносін нявызначанасцяў Гейзенберга ў дачыненні да планкаўскага маштабу.

Доказ  

На самай справе названыя суадносіны нявызначанасцяў можна атрымаць, зыходзячы з ураўненняў Эйнштэйна

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$,

дзе $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тэнзар Эйнштэйна, які аб'ядноўвае тэнзар Рычы, скалярную крывізну і метрычны тэнзар, $R_{\mu \nu }$ — тэнзар Рычы, які атрымліваецца з тэнзара крывізны прасторы-часу $R_{abcd}$ шляхам згорткі яго па пары індэксаў, $R$ — скалярная крывізна, г. зн. згорнуты тэнзар Рычы, $g_{\mu \nu }$ — метрычны тэнзар, $\Lambda$ — касмалагічная пастаянная, а $T_{\mu \nu }$ уяўляе сабой тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, $\pi$ — лік пі, $c$ — хуткасць святла ў вакууме, $G$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана.

Пры вывадзе сваіх ураўненняў Эйнштэйн выказаў здагадку, што фізічная прастора-час з'яўляецца рыманавай, г. зн. скрыўленай. Малая вобласць рыманавай прасторы блізкая да плоскай прасторы.

Для любога тэнзарнага поля $N_{\mu \nu \dots }$ велічыню $N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}$ можна назваць тэнзарнай шчыльнасцю, дзе $g$ — вызначальнік метрычнага тэнзара $g_{\mu \nu }$. Калі вобласць інтэгравання малая, $\int N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ з'яўляецца тэнзарам. Калі вобласць інтэгравання не малая, то гэты інтэграл не будзе тэнзарам, бо ўяўляе сабой суму тэнзараў, зададзеных ў розных кропках і, такім чынам, не пераўтворыцца па якім-небудзь простым законе пры пераўтварэннях каардынатаў. Тут разглядаюцца толькі малыя вобласці. Вышэйсказанае справядліва і пры інтэграванні па трохмернай гiперпаверхнi $S^{\nu }$.

Такім чынам, ураўненні Эйнштэйна для малой вобласці псеўдарыманавай прасторы-часу можна праiнтэграваць па трохмернай гiперпаверхнi $S^{\nu }$. Маем

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так як інтэгруемая вобласць прасторы-часу малая, атрымліваем тэнзарнае ўраўненне

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$,

дзе $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — 4-імпульс; i $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — радыус крывізны малой вобласці прасторы-часу.

Атрыманае тэнзарнае ўраўненне можна перапісаць у іншым выглядзе. Так як $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$, то

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$,

дзе $r_{g}$ — радыус Шварцшыльда, $U_{\mu }$ — 4-хуткасць, $m$ — гравітацыйная маса. Гэты запіс раскрывае фізічны сэнс велічынь $R_{\mu }$ як кампанент гравітацыйнага радыусу $r_{g}$.

У малой вобласці прастора-час практычна плоская, і гэта ўраўненне можна напісаць у аператарным выглядзе

${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$,

або асноўнае ўраўненне квантавай гравітацыі

Ураўненне квантавай гравітацыі $-2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle$

Тады камутатар аператараў ${\hat {R}}_{\mu }$ і ${\hat {x}}_{\mu }$ роўны

$[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$,

адкуль вынікаюць вышэйпаказаныя суадносіны нявызначанасцяў

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$

Падстаўляючы сюды значэнні $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }$ і $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ і скарачаючы справа і злева аднолькавыя сімвалы, атрымліваем суадносіны нявызначанасцяў Гейзенберга:

$\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

У прыватным выпадку статычнага сферычна сіметрычнага поля і статычнага размеркавання матэрыі маем $U_{0}=1;U_{i}=0\,(i=1,2,3)$, і застаецца

$\Delta {R_{0}}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$,

дзе $r_{g}$ — радыус Шварцшыльда, $r$ — радыяльная каардыната. Тут $R_{0}=r_{g}$, а $x_{0}=c\,t=r$, бо на планкаўскім узроўні матэрыя рухаецца з хуткасцю святла. Апошнiя суадносіны нявызначанасцяў дазваляюць рабіць некаторыя ацэнкі ўраўненняў агульнай тэорыi адноснасцi ў дачыненні да планкаўскага маштаба. Напрыклад, выраз для інварыянтнага інтэрвала $dS$ у вырашэнні Шварцшыльда мае выгляд

$dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Падстаўляючы сюды, згодна з суадносінамі нявызначанасцяў, замест $r_{g}$ велічыню $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$, атрымаем

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Відаць, што на планкаўскім узроўні $r=\ell _{P}$ інварыянтны інтэрвал $dS$ абмежаваны знізу планкаўскай даўжынёй, на гэтым маштабе з'яўляецца дзяленне на нуль, што азначае стварэнне рэальных і віртуальных планкаўскiх чорных дзір.

Аналагічныя ацэнкі можна атрымаць і для іншых ураўненняў агульнай тэорыi адноснасці.

Выпісаныя вышэй суадносіны нявызначанасцяў справядлівыя для любых гравітацыйных палёў.

Уласцівасці

Паводле ацэнак фізікаў-тэарэтыкаў, віртуальныя чорныя дзіркі павінны мець масу парадку масы Планка, час жыцця парадку планкаўскага часу, і ўтварацца са шчыльнасцю парадку аднаго асобніка на аб’ём Планка. Пры гэтым, калі віртуальныя чорныя дзіркі існуюць, яны могуць запускаць механізм распаду пратона. Паколькі маса чорнай дзіркі спачатку павялічваецца дзякуючы падзенню масы на чорную дзірку, а затым памяншаецца з-за выпраменьвання Хокінга, то выпусканыя элементарныя часціцы, у агульным выпадку, не ідэнтычныя тым, якія падаюць у чорную дзірку. Такім чынам, калі ў віртуальную чорную дзірку трапляюць два кваркі, складнікі пратона, то магчыма з’яўленне антыкварка і лептона, што парушае закон захавання барыённага ліку.

Існаванне віртуальных чорных дзір пагаршае знікненне інфармацыі ў чорнай дзіры, бо любы фізічны працэс патэнцыйна можа быць парушаны ў выніку ўзаемадзеяння з віртуальнай чорнай дзіркай.

Стварэнне вакуума, які складаецца з віртуальных планкаўскiх чорных дзір (квантавай пены), энергетычна найбольш выгадна ў трохмернай прасторы, што, магчыма, абумовіла 4-мернасць назіранай прасторы-часу.