Вірыял

Вірыял $G$ для мноства $N$ кропкавых часціц у механіцы вызначаецца як:

$G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},$

дзе $\mathbf {r} _{k}$ і $\mathbf {p} _{k}$ — прасторавыя вектары каардынат і імпульсаў для $k$-й часціцы.

Выраз «вірыял» паходзіць ад лацінскіх слоў «vis», «viris» - "сіла" ці "энергія". Яно было ўведзена Клаўзіусам ў 1870 годзе.

Тэарэма аб вірыяле

Для стабільнай сістэмы, звязанай патэнцыяльнымі сіламі, справядлівая тэарэма аб вірыяле:

$2\langle T\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,$

дзе $\langle T\rangle$ прадстаўляе сярэднюю поўную кінетычную энергію і $\mathbf {F} _{k}$ — сіла, якая дзейнічае на $k$-ю часціцу.

У прыватным выпадку, калі адпаведная сіле патэнцыйная энергія ўзаемадзеяння $V(r)$ прапарцыянальная $n$-й ступені адлегласці паміж часціцамі $r$, вірыяльная тэарэма прымае простую форму

$2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .$

Іншымі словамі, падвоеная сярэдняя поўная кінетычная энергія $T$ роўная $n$-кратнай сярэдняй поўнай патэнцыйнай энергіі $U$.

Значэнне тэарэмы аб вірыяле складаецца ў тым, што яна дазваляе вылічыць сярэднюю поўную кінетычную энергію нават для вельмі складаных сістэм, што кідае выклік дакладным рашэнням, якія разглядае, напрыклад, статыстычная механіка. Напрыклад, тэарэму аб вірыяле можна выкарыстоўваць, каб вывесці эквіпарцыяльную тэарэму (тэарэма аб раўнамернасці размеркаванні энергіі па ступенях свабоды) або вылічыць мяжу Чандрасекара для ўстойлівасці белага карліка.

Вытворная па часе і асерадненне

Вытворную па часе ад вірыяла можна запісаць

${\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=$

$=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}$

ці ў больш простай форме

${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.$

Тут $m_{k}$ маса $k$-й часціцы, $\mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}$ — поўная сіла, якая дзейнічае на часціцу, а $T$ — поўная кінетычная энергія сістэмы

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.$

Асерадненне гэтай вытворнай за час $\tau$ вызначаецца наступным чынам:

$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},$

адкуль мы атрымаем дакладнае рашэнне

Вірыяльная тэарэма

Вірыяльная тэарэма сцвярджае:

Калі $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$, то

$2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.$

Маецца некалькі прычын таго, чаму асерадненне вытворнай па часе знікае, г. зн. $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$. Адна часта цытуемая прычына апелюе да звязаных сістэм, дык ёсць сістэмы, якія застаюцца абмежаванымі ў прасторы. У гэтым выпадку вірыял $G^{\mathrm {bound} }$ звычайна абмежаваны двума межамі, $G_{\min }$ і $G_{\max }$, і сярэдняе імкнецца да нуля ў межах вельмі доўгіх часоў $\tau$:

$\lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.$

Калі сярэдняе значэнне вытворнай па часе $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$, вірыяльная тэарэма мае тую ж ступень набліжэння.

Суадносіны з патэнцыйнай энергіяй

Поўная сіла $\mathbf {F} _{k}$, якая дзейнічае на часціцу $k$, ёсць сума ўсіх сіл дзеючых з боку іншых часціц $j$ ў сістэме

$\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk},$

дзе $\mathbf {F} _{jk}$ — сіла, якая дзейнічае на часціцу $j$ з боку часціцы $k$. Адсюль, складнік у вытворнай па час е ад вірыяла, які змяшчае сілу, можна перапісаць у выглядзе:

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.$

Паколькі адсутнічае самадзеянне (гэта значыць $\mathbf {F} _{jk}=0$, дзе $j=k$), мы атрымаем:

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}),$

дзе мы выкажам здагадку, што выконваецца трэці закон Ньютана, г. зн. $\mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}$ (роўныя па модулю і процілеглыя па кірунку).

Часта здараецца, што сілы могуць быць атрыманы з патэнцыйнай энергіі $V$, якая з'яўляецца функцыяй толькі адлегласці $r_{jk}$ паміж кропкавымі часціцамі $j$ і $k$. Паколькі сіла - гэта градыент патэнцыйнай энергіі з адваротным знакам, мы маем у гэтым выпадку

$\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},$

які роўны па модулю і процілеглы па кірунку вектару $\mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V$ — сілы, якая дзейнічае з боку часціцы $k$ на часціцу $j$, як можна паказаць простымі вылічэннямі. Адсюль сілавы складнік у вытворнай ад вірыяала па часе роўны

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.$

Прымяненне да сіл, якія залежаць ад адлегласці сталым чынам

Часта аказваецца, што патэнцыйная энергія $V$ мае выгляд ступеннай функцыі

$V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},$

дзе каэфіцыент $\alpha$ і паказчык $n$ — канстанты. У такім выпадку, сілавы складнік у вытворнай ад вірыялу па часе задаецца наступнымі ураўненнямі

$-\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU,$

дзе $U$ — поўная патэнцыйная энергія сістэмы:

$U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).$

У такіх выпадках, калі сярэдняе ад вытворнай па часе ад вірыяла $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$, выконваецца ураўненне

$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.$

Звычайна прыводны прыклад - гравітацыйнае прыцягненне, для якога $n=-1$. У тым выпадку, сярэдняя кінетычная энергія - палова сярэдняй адмоўнай патэнцыйнай энергіі

$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.$

Гэты вынік з'яўляецца выдатна карысным для складаных гравітацыйных сістэм, тыпу сонечная сістэма або галактыка, і таксама выконваецца для электрастатычнай сістэмы, для якой $n=-1$ таксама.

Хоць гэта выраз атрымана для класічнай механікі, вірыяльная тэарэма таксама дакладная для квантавай механікі.

Ўлік электрамагнітных палёў

Вірыяльную тэарэму можна абагульніць на выпадак электрычных і магнітных палёў. Вынік:

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},$

дзе $I$ — момант інерцыі, $G$ — вектар Пойнтынга, $T$ — кінетычная энергія «вадкасці», $U$ — выпадковая цеплавая энергія часціц, $W^{E}$ і$W^{M}$ — энергія электрычнага і магнітнага поля ў разгляданым аб'ёме сістэмы, $p_{ik}$ — тэнзар ціску вадкасці выражаны ў лакальнай сістэме каардынат, што рухаецца, спадарожнай вадкасці:

$p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }$

і $T_{ik}$ — тэнзар энергіі-імпульсу электрамагнітнага поля:

$T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).$

Плазмоід - абмежаваная канфігурацыя магнітных палёў і плазмы. З дапамогай вырыяльнай тэарэмы лёгка паказаць, што любая такая канфігурацыя пашыраецца, калі не стрымліваецца знешнімі сіламі. У канчатковай канфігурацыі павярхоўны інтэграл знікне без сцен, якія аказваюць ціск, або магнітных шпулек. Так як усе іншыя складнікі справа дадатныя, паскарэнне моманту інерцыі таксама будзе дадатнае. Лёгка ацаніць час пашырэння $\tau$. Калі поўная маса $M$ абмежаваная ў межах радыуса $R$, то момант інерцыі - прыкладна $MR^{2}$, і левы бок у вірыяльнай тэарэме — $MR^{2}/\tau ^{2}$. Складнікі справа складаюць у цэлым велічыню парадку $pR^{3}$, дзе $p$ — большае з плазменнага ціску ці магнітнага ціску. Прыраўноўваючы гэтыя два члены і ўлічваючы, што $~M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3}$, $~p\sim nkT$, $~c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i}}}$, дзе $m_{i}$ ёсць маса іёна, $n$ – канцэнтрацыя іёнаў, $~V\sim R^{3}$ – аб'ём плазмоіда, $k$ – пастаянная Больцмана, $T$ – тэмпература, для $\tau$ знаходзім:

$~\tau \sim R/c_{s},$

дзе $c_{s}$ з'яўляецца хуткасцю іённай акустычнай хвалі (або хвалі Альфэна, калі магнітны ціск вышэй, чым плазменны ціск). Такім чынам, час жыцця плазмоіда, як чакаюць, будзе раўняцца па парадку велічыні акустычнаму (альфэнаўскаму) часу праходжання.

Літаратура

• Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd. ed. — Addison-Wesley, 1980. — ISBN 0-201-02918-9.