Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік , НАК ) двух цэлых лікаў m і n — найменшы натуральны лік , які дзеліцца на m і n без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:
НАК(m , n ) ;
[m , n ] ;
lcm(m , n ) (ад англ. : Least Common Multiple ).Прыклад: НАК(16, 20) = 80.
Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.
Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка .
Перастаўляльнасць (камутатыўнасць): lcm ( a , b ) = lcm ( b , a ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=\operatorname {lcm} (b,a).}
Спалучальнасць (асацыятыўнасць): lcm ( a , lcm ( b , c ) ) = lcm ( lcm ( a , b ) , c ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c).}
Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам gcd(a , b ) :
lcm ( a , b ) = | a ⋅ b | gcd ( a , b ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.}
У прыватнасці, калі a і b — узаемна простыя лікі (руск.) ( бел. , то: lcm ( a , b ) = a ⋅ b . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=a\cdot b.}
lcm ( a 1 n , a 2 n , . . . , a k n ) = ( lcm ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) ) n {\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},...,a_{k}))^{n}} пры n ⩾ 0. {\displaystyle n\geqslant 0.}
Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў m і n з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных m і n . Больш таго, мноства агульных кратных m і n супадае з мноствам кратных для НАК(m , n ) .
Асімптотыкі для lcm ( 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)} можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.
Функцыя Чабышова (англ.) ( бел. ψ ( x ) = ln lcm ( 1 , 2 , … , ⌊ x ⌋ ) . {\displaystyle \psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor ).}
lcm ( 1 , 2 , … , n ) ⩽ g ( n ( n + 1 ) 2 ) ∼ e n ( n + 1 ) 2 ln n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim e^{\sqrt {{\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}}} . Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей функцыі Ландау (руск.) ( бел. g(n) .
lcm ( 1 , 2 , … , n ) ∼ e n + o ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)}} , што вынікае з закона размеркавання простых лікаў (руск.) ( бел. .
НАК(a , b ) можна вылічыць некалькімі спосабамі.
1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік , можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:
lcm ( a , b ) = | a ⋅ b | gcd ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}} 2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:
a = p 1 d 1 ⋅ ⋯ ⋅ p k d k , {\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}
b = p 1 e 1 ⋅ ⋯ ⋅ p k e k , {\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},} дзе p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}} — розныя простыя лікі, а d 1 , … , d k {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}} і e 1 , … , e k {\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}} — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады НАК(a , b ) вылічаецца па формуле:
[ a , b ] = p 1 max ( d 1 , e 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ p k max ( d k , e k ) . {\displaystyle [a,b]=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.} Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў a і b , прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:
8 = 2 3 ⋅ 3 0 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 {\displaystyle 8\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}\,\!}
9 = 2 0 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 {\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}\,\!}
21 = 2 0 ⋅ 3 1 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 . {\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}.\,\!}
lcm ( 8 , 9 , 21 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 = 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 504. {\displaystyle \operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 1\cdot 7=504.\,\!} Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:
lcm ( a , b , c ) = lcm ( lcm ( a , b ) , c ) ; {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b,c)=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c);}
lcm ( a 1 , a 2 , … , a n ) = lcm ( lcm ( a 1 , a 2 , … , a n − 1 ) , a n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}
Виноградов И. М. Основы теории чисел. . — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.