Першаі́сная [ 1] f (x )F (x )вытворная якой для ўсіх x f (x )
Першаісная Формула, якая апісвае закон або тэарэму
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
Пазначэнне ў формуле
F
{\displaystyle F}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle F'(x)=f(x).}
Сукупнасць усіх першаісных функцыі f (x )(a ,b ) называецца нявы́значаным інтэгра́лам [ 1]
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int f(x)\,dx.}
Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем .
правіць
Калі F (x )f (x )(a ,b ) , то ўсякая першаісная функцыі f (x )F (x ) + C C сталая [ 2]
правіць
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
′
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),}
∫
F
′
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
.
{\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C.}
d
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
=
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,}
∫
d
(
F
(
x
)
)
=
F
(
x
)
+
C
.
{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.}
правіць
Няхай a ≠ 0сталаю , тады
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.}
Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:
∫
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.}
Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана . Няхай f (x )[a , b ] . Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}
ёсць першаіснаю функцыі f (x )[a , b ] [ 2]
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
,
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),}
называная формулай Ньютана-Лейбніца .
правіць
Метад раскладання. Калі
g
(
x
)
=
g
1
(
x
)
+
g
2
(
x
)
,
{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}
то
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
1
(
x
)
d
x
+
∫
g
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g_{1}(x)\,dx+\int g_{2}(x)\,dx.\,}
Увядзенне новага аргумента. Калі
∫
g
(
x
)
d
x
=
G
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(x)\,dx=G(x)+C,\,}
то
∫
g
(
u
)
d
u
=
G
(
u
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(u)\,du=G(u)+C,\,}
дзе
u
=
φ
(
x
)
{\displaystyle u=\varphi (x)\,}
Метад падстаноўкі. Калі
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
x
=
φ
(
t
)
,
{\displaystyle x=\varphi (t),\,}
дзе
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)\,}
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi '(t)\,dt.}
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\,}
правіць
Функцыя f (z )аналітычная . Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя. Прыклад:
∫
1
z
d
t
t
=
Ln
z
{\displaystyle \int \limits _{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z}
правіць
У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй
(тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная).
Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[ 3]
∫
e
−
x
2
d
x
,
∫
sin
(
x
2
)
d
x
,
∫
e
x
x
d
x
,
∫
sin
x
x
d
x
,
∫
d
x
ln
x
.
{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.}
У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[ 2] [ 3]
∫
0
d
x
=
C
;
{\displaystyle \int 0\,dx=C;}
∫
1
d
x
=
x
+
C
;
{\displaystyle \int 1\,dx=x+C;}
∫
x
α
d
x
=
x
α
+
1
α
+
1
+
C
,
(
α
≠
−
1
)
;
{\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;\,}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
;
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C;\,}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
,
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
;
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
;
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
;
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}
∫
d
x
cos
2
x
=
tg
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;\,}
∫
d
x
sin
2
x
=
−
ctg
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;\,}
∫
d
x
1
−
x
2
=
arcsin
x
+
C
=
−
arccos
x
+
C
1
,
(
C
1
=
π
2
+
C
)
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_{1},\qquad (C_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);\,}
∫
d
x
1
+
x
2
=
arctg
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;\,}
∫
ch
x
d
x
=
sh
x
+
C
;
{\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C;\,}
∫
sh
x
d
x
=
ch
x
+
C
;
{\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C;\,}
↑ а б
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑ а б в
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
↑ а б
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.
