Сярэдняе геаметрычнае

Сярэдняе геаметрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іх здабытак не змяніўся:

$G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$

Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыянальным.

Уласцівасці

• Гэтак жа, як і любое іншае сярэдняе значэнне, сярэдняе геаметрычнае ляжыць паміж найменшым і найбольшым з усіх лікаў:

$\min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq G(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$

• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў роўнае сярэдняму геаметрычнаму іх сярэдняга арыфметычнага і сярэдняга гарманічнага.
• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў x, y з'яўляецца сярэднім арыфметыка-гарманічным гэтых лікаў, г. зн. раўняецца граніцы дзвюх паслядоўнасцей $(a_{n})$ і $(b_{n}),$ вызначаных наступным чынам:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad a_{0}=x$

і

$b_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{b_{n}}}}},\quad b_{0}=y,$

дзе $b_{n+1}$ раўняецца сярэдняму гарманічнаму папярэдніх значэнняў дзвюх паслядоўнасцей. Абедзве паслядоўнасці $(a_{n})$ і $(b_{n})$ збягаюцца да сярэдняга геаметрычнага лікаў x і y.

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў $x_{1},\ldots ,x_{n}$ з рэчаіснымі вагамі $w_{1},\ldots ,w_{n}$ вызначаецца як

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)$

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя паміж сабою, сярэдняе геаметрычнае ўзважанае супадае з сярэднім геаметрычным.

У геаметрыі

$BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}$

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная на гіпатэнузу, ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і яго праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геаметрычны спосаб пабудовы сярэдняга геаметрычнага двух (даўжынь) адрэзкаў: трэба пабудаваць акружнасць на суме гэтых двух адрэзкаў як на дыяметры, тады вышыня, пабудаваная з пункта іх злучэння да перасячэння з акружнасцю, дасць шукаемую велічыню.

Сувязь з абагульненымі сярэднімі

• Сярэдняе геаметрычнае можна разглядаць як граніцу сярэдніх ступенных $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}$ пры $g\to 0$.
• Сярэдняе геаметрычнае з'яўляецца сярэднім Калмагорава пры $\phi (x)=\log x$

Гл. таксама

• Сярэдняе арыфметычнае
• Сярэдняе квадратычнае
• Сярэдняе значэнне
• Няроўнасць паміж сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным
• Няроўнасць Швейцэра