Сістэма ўраўненняў

Сістэма ўраўненняў — гэта ўмова, якая складаецца ў адначасовым выкананні некалькіх ураўненняў адносна некалькіх (або адной) зменных.

Фармальны запіс агульнага выгляду можа выглядаць так:

$\left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.$

Рашэннем сістэмы ўраўненняў называецца спарадкаваны набор лікаў (значэнняў зменных), пры падстаноўцы якіх замест зменных кожнае з ураўненняў звяртаецца ў дакладную роўнасць.

Класіфікацыя

• Алгебраічныя раўнанні:
  • Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў
  • Сістэма нелінейных ураўненняў
• Дыферэнцыяльныя ўраўненні:
  • Сістэма дыферэнцыяльных ураўненняў (лінейныя/нелінейныя, звычайныя/ў частковых вытворных)

Рашэнне сістэмы ўраўненняў

Існуе мноства метадаў рашэння сістэмы ўраўненняў. Падыход залежыць ад тыпу сістэмы. Так, рашэнне сістэм лінейных ураўненняў цалкам даследавана: у іх знойдзены аналітычныя метады (метад Крамера) і прапанавана некалькі лікавых як дакладных (найпросты — метад Гауса), так і набліжаных (метад ітэрацый).

Агульнай аналітычнага рашэння сістэмы нелінейных ураўненняў не знойдзена. Існуюць толькі лікавыя метады.

Для рашэння сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў распрацавана цэлая галіна лікавых метадаў.

Розныя факты

• Любая сістэма ўраўненняў над рэчаіснымі лікамі можа быць прадстаўлена адным раўнасільным ураўненнем, калі ўзяць усё ўраўненні ў форме $f_{i}(x)=0$, узвесці іх у квадрат і скласці.
• Звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненне любога парадку можна запісаць як сістэму дыф. ураўненняў першага парадку.

Гл. таксама

• Вызначнік