Тэарэма Карно (тэрмадынаміка)

Тэарэма Карно — тэарэма пра каэфіцыент карыснага дзеяння (ККД) цеплавых рухавікоў. Згодна з гэтай тэарэмай, ККД цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і канструкцыі цеплавога рухавіка і з'яўляецца функцыяй тэмператур награвальніка і халадзільніка.

Гісторыя

У 1824 г. Садзі Карно прыйшоў да высновы: "рухальная сіла цяпла не залежыць ад агентаў, узятых для яе развіцця; яе колькасць выключна вызначаецца тэмпературамі цел, паміж якімі, у канчатковым рахунку, вырабляецца перанос цеплароду"

Логіка разваг Карно была такая: «... можна з дастатковай падставай параўнаць рухальную сілу цяпла з сілай падаючай вады: абедзве маюць максімум, які нельга перасягнуць, якая б ні была б у адным выпадку машына для выкарыстання дзеянні вады, і ў іншым - рэчыва, адведзены для развіцця сілы цяпла

Рухальная сіла падаючай вады залежыць ад вышыні падзення і колькасці вады; рухаючая сіла цяпла таксама залежыць ад колькасці ужытага цеплароду і залежыць ад таго, што можна назваць і што мы насамрэч і будзем называць вышынёй яго падзення, - гэта значыць ад рознасці тэмператур цел, паміж якімі адбываецца абмен цеплароду. Пры падзенні вады рухальная сіла строга прапарцыянальная рознасці узроўняў у верхнім і ніжнім рэзервуары. Пры падзенні цеплароду рухальная сіла без сумневу ўзрастае з рознасцю тэмператур паміж гарачым і халодным целамі ... ».

Некаторыя сучасныя аўтары (К. В. Глаголещ, А. Н. Марозаў з МДТУ ім. Н. Э. Баумана) гавораць ужо аб двух тэарэмах Карно, цытата: "Прыведзеныя вышэй развагі дазваляюць перайсці да фармулёўкі першай і другой тэарэм Карно. Іх можна сфармуляваць у выглядзе двух наступных сцвярджэнняў:

1. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой зварачальнай цеплавой машыны, якая працуе па цыклу Карно, не залежыць ад прыроды працоўнага цела і прылады машыны, а з'яўляецца функцыяй толькі тэмпературы награвальніка і халадзільніка: $\,\!\eta =1-F(T_{H},T_{X})$

2. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой цеплавой машыны, якая працуе па незваротнам цыкле, менш каэфіцыента карыснага дзеяння машыны з зварачальным цыклам Карно, пры ўмове роўнасці тэмператур іх награвальнікаў і халадзільнікаў: $\,\!\eta _{n}<\!\eta _{o}$»

Іншыя аўтары (напрыклад, Б. М. Яворскі і Ю. А. Селязнёў) паказваюць на тры аспекты адной тэарэмы Карно, цытата (cм. стар 151-152.):

«3°. Тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і вызначаецца толькі тэмпературамі награвальніка $T_{H}$ і халадзільніка $T_{X}$:

$\,\!\eta _{k}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}=1-{\frac {T_{X}}{T_{H}}}$

$\,\!\eta _{k}<0$, бо практычна немагчыма ажыццявіць ўмову $T_{H}\rightarrow oo$ і тэарэтычна немагчыма ажыццявіць халадзільнік, у якога: $T_{X}=0$.

4°. Тэрмічны ККД $\,\!\eta _{o}$ адвольнага зварачальнага цыклу не можа перавышаць тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно, ажыццёўленага паміж тымі ж тэмпературамі $T_{H}$ і $T_{X}$ награвальніка і халадзільніка:

$\,\!\eta _{o}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}$.

5°. Тэрмічны ККД $\,\!\eta _{n}$ адвольнага незваротнага цыклу заўсёды менш тэрмічнага ККД зварачальнага цыклу Карно, праведзенага паміж тэмпературамі $T_{H}$ і $T_{X}$:

$\,\!\eta _{n}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}$.

Пункты 3° - 5° складаюць змест тэарэмы Карно.»

Доказы тэарэмы Карно

Існуе некалькі розных доказаў гэтай тэарэмы.

Доказ Садзі Карно

... У розных палажэннях поршань адчувае ціску больш ці менш значныя з боку паветра, які знаходзіцца ў цыліндры; пругкая сіла паветра змяняецца як ад змены аб'ёму, так і ад змены тэмпературы, але неабходна заўважыць, што пры роўных аб'ёмах, гэта значыць для падобных палажэнняў поршня, пры разрэджанні тэмпература будзе больш высокай, чым пры сціску. Таму ў першым выпадку пругкая сіла паветра будзе больш, а адсюль рухальная сіла, вырабленая рухам ад пашырэння, будзе больш, чым сіла, патрэбная для сціску. Такім чынам, атрымаецца лішак рухальнай сілы, лішак, які можна на што-небудзь ўжыць. Паветра паслужыць нам цеплавой машынай; мы ўжылі яго нават найбольш выгадным чынам, так як не адбывалася ні аднаго бескарыснага аднаўлення раўнавагі цеплароду.

Сучасны доказ =

Адзін з доказаў прадстаўлена ў кнізе Д. цёр Хаара і Г. Вергеланда «Элементарная тэрмадынаміка».

Адзін з магчымых варыянтаў тэарэтычнага цыклу Карно

«Працэс D-E. (гл. мал). Паколькі газ ідэальны, $(dU/dV)_{T}=0$ і ўнутраная энергія застаецца сталай. Усе цяпло, атрыманае ад рэзервуара пры тэмпературы $T_{H}$, ператвараецца ў вонкавую працу:

$Q_{D-E}=\int \limits _{ik}^{cd}p{dV}=RT_{H}\ln {\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}$. [1]

Працэс В-C. Падобным жа чынам, праца, зробленая пры сціску, ператвараецца ў цяпло, якое перадаецца халоднаму рэзервуару:

$Q_{B-C}=\int \limits _{gh}^{ef}p{dV}=RT_{X}\ln {\frac {V_{ef}}{V_{gh}}}$. [2]

Працэсы E-B і C-D. Паколькі газ ідэальны і $U$ залежыць толькі ад тэмпературы $T$, з ураўнення $Q=U_{2}-U_{1}+A$ вынікае, што праца, якая ў адным з гэтых двух адыябатычных працэсаў, цалкам кампенсуе працу, якая здзяйсняецца ў іншым працэсе. Сапраўды, карыстаючыся адыябатычнай умовай $C_{V}dT+pdV=0$, атрымліваем:

$C_{V}(T_{H}-T_{X})=\int \limits _{cd}^{gh}pdV=-\int \limits _{ef}^{ik}pdV$.

Каб знайсці сувязь паміж $V_{ik}$, $V_{cd}$, $V_{gh}$ і $V_{ef}$, заўважым, што, згодна з ураўненням Пуасона $TV^{R/C_{V}}=const$, у адыябатычных працэсах:

(E → B):$T_{H}V_{cd}^{x-1}=T_{X}V_{gh}^{x-1}$

(C → D):$T_{X}V_{ef}^{x-1}=T_{H}V_{ik}^{x-1}$

і, такім чынам,

${\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}={\frac {V_{gh}}{V_{ef}}}$.

Падстаўляючы гэта суадносіны ў ўраўненні [1] і [2], атрымліваем:

${\frac {Q_{B-C}}{Q_{D-E}}}={\frac {T_{H}}{T_{X}}}$.

У той жа час мы прыходзім да выніку ... што ККД аптымальнага цыклу роўны

$\,\!\eta _{max}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}$.»

Літаратура

• S. Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
• Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
• Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд. Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). — М.: Издательство «Мир», 1968.
• Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное. — М.: Издательство «Наука», 1979.
• Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
• Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд., переработанное.. — М.: Физматлит, 2004.