Фундаментальная паслядоўнасць

Фундамента́льная паслядо́ўнасць, або паслядо́ўнасць Кашы́паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы, такая што для любой зададзенай адлегласці існуе элемент паслядоўнасці, пачынаючы з якога ўсе элементы паслядоўнасці знаходзяцца адзін ад аднаго на адлегласці, меншай чым зададзеная.

АзначэннеПравіць

Паслядоўнасць пунктаў   метрычнае прасторы   называецца фундаментальнаю, калі яна задавальняе ўмову Кашы:

для любога   існуе такі натуральны лік  , што   для ўсіх  .

Звязаныя азначэнніПравіць

  • Прастора, ў якой кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента гэтай жа прасторы, называецца поўнаю.

УласцівасціПравіць

  • Кожная збежная паслядоўнасць з'яўляецца фундаментальнай, але не кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента са сваёй прасторы.
  • Метрычная прастора з'яўляецца поўнаю тады і толькі тады, калі ўсякая сістэма ўкладзеных замкнутых шароў з неабмежавана ўбываючым радыусам мае непустое перасячэнне, якое складаецца з аднаго пункта.
  • Калі паслядоўнасць фундаментальная і ўтрымлівае збежную падпаслядоўнасць, то сама паслядоўнасць таксама збягаецца.
  • Калі паслядоўнасць фундаментальная, то яна абмежавана.

ЛітаратураПравіць

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — м: Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — м:Наука, 1970.