Адзінкавая акружнасць

Адзі́нкавая акру́жнасць — акружнасць з радыусам 1 і цэнтрам у пачатку каардынат.

Параметрычнае заданне адзінкавай акружнасці.

Для каардынат (x, y) усіх пунктаў на адзінкавай акружнасці, згодна з тэарэмай Піфагора, выконваецца роўнасць:

$x^{2}+y^{2}=1.$

Паняцце адзінкавай акружнасці абагульняецца да n-мернай прасторы ($n>2$), у такім выпадку кажуць аб «адзінкавай сферы».

Трыганаметрычныя функцыі

Геаметрычнае азначэнне трыганаметрычных функцый вугла α пры дапамозе адзінкавай акружнасці.

З дапамогай адзінкавай акружнасці могуць быць наглядна апісаны трыганаметрычныя функцыі.

Сінус і косінус могуць быць апісаны наступным чынам: калі злучыць любую кропку $(x,y)$ на адзінкавай акружнасці з пачаткам каардынат $(0,0)$, атрымліваецца адрэзак, які знаходзіцца пад вуглом $\alpha$ адносна дадатнай паўвосі абсцыс. Тады сапраўды:

$\cos \alpha =x,$

$\sin \alpha =y.$

Пры падстаноўцы гэтых значэнняў ва ўраўненне акружнасці $x^{2}+y^{2}=1$ атрымліваецца:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.$

(Выкарыстоўваецца наступнае агульнапрынятае абазначэнне: $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.)

Тут жа наглядна апісваецца перыядычнасць трыганаметрычных функцый, бо адпаведнае вуглу становішча адрэзка не залежыць ад колькасці «поўных абаротаў»:

$\sin(x+2\pi k)=\sin(x)$

$\cos(x+2\pi k)=\cos(x)$

для ўсіх цэлых лікаў $k$, г.зн. для $k\in \mathbb {Z}$.

Камплексная плоскасць

Геаметрычны сэнс формулы Эйлера.

Гл. таксама: Формула Эйлера і U(1)

На камплекснай плоскасці адзінкавая акружнасць — гэта наступнае мноства $G\subset \mathbb {C}$:

$G=\{z:|z|=1\}=\{e^{i\phi }:0\leq \phi <2\pi \}.$

Мноства $G$ з'яўляецца падгрупай групы камплексных лікаў па множанню, яе нейтральны элемент — гэта $e^{i0}=1$.

Гл. таксама

• Адзінкавая сфера
• Адзінкавы круг
• Адзінкавы квадрат
• Адзінкавы куб