Адкрыць галоўнае меню
Геаметрычны сэнс формулы Эйлера

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) выконваецца наступная роўнасць:

,

дзе

 — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: ,
 — уяўная адзінка.

ГісторыяПравіць

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе[1] і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара[2]. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд[3]:

 

Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у Г. Весселя.

Вытворныя формулыПравіць

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі   і   наступным чынам:

 
 

Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай  , тады:

 
 

Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

 

з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры  .

Прымяненне ў камплексным аналізеПравіць

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

 

Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

 ,  

Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку   ў ступень   яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень  , а вугал павароту адносна восі   павялічваецца ў   разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых  , але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Узаемасувязь з трыганаметрыяйПравіць

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

 
 

Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

 
 

з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:

 
 

Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

 

Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

 

Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

ДоказПравіць

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю   у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях  . Атрымаем:

 

Але

 

 

Таму  , што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая форма камплекснага лікуПравіць

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік   у трыганаметрычнай форме мае выгляд  . Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:

 

Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут   ,  .

Гл. таксамаПравіць

ЗноскіПравіць

ЛітаратураПравіць

СпасылкіПравіць