Адкрыць галоўнае меню

Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

ГісторыяПравіць

  Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыіПравіць

  Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі
 
Адзінкавая акружнасць
 
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла   на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень   з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла   ад дадатнага праменя восі   супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння   з адзінкавай акружнасцю будзе  . Тады па азначэнню:

  • функцыя косінус   будзе абсцысай  ,
  • функцыя сінус   будзе ардынатай  
  • функцыя тангенс   будзе дзеллю ардынаты   і яе абсцысы:  
  • функцыя катангенс   будзе дзеллю абсцысы   і яе ардынаты:  
  • функцыя секанс   будзе дзеллю  
  • функцыя касеканс   будзе дзеллю  

Функцыі   і   вызначаныя на ўсём  , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд  . Функцыя   не вызначана ў пунктах  ,  , а функцыя   не вызначана ў пунктах  ,  , і абедзве маюць вобласць значэнняў   і перыяд  .

Адваротныя трыганаметрычныя функцыіПравіць

Функцыя, адваротная да

  •   называецца арксінус  
  •   называецца арккосінус  
  •   называецца арктангенс  
  •   называецца арккатангенс  

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасціПравіць

  Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць  .

Формула косінуса сумы:  

Формула косінуса рознасці:  

Формула сінуса сумы:  

Формула сінуса рознасці:  

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнайПравіць

 
y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі   і   ў рад Тэйлара:

 

 

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай  :

 

 

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё  .

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоўПравіць

  Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

  0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
                 
                 
                 
                 
                 
                 
 
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.


УжываннеПравіць

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
  • Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
  • И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»