Геаметрыя

Геаме́трыя (ад стар.-грэч.: γεωμετρία; γῆ — Зямля і μετρέω — «вымяраю») — раздзел матэматыкі, які вывучае ўласцівасці і адносіны між аб'ектамі ў прасторы. Гэтыя аб'екты называюць фігурамі.

Узнікла з практычных патрэб чалавека для вызначэння адлегласці, вуглоў, плошчаў, аб'ёмаў і інш. Без геаметрыі немагчыма развіццё астраноміі, геадэзіі, картаграфіі, крышталяграфіі, тэорыі адноснасці і ўсіх графічных метадаў. Геаметрычныя тэорыі выкарыстоўваюцца ў механіцы і фізіцы: магчымыя канфігурацыі (узаемнае размяшчэнне элементаў) механічнай сістэмы ўтвараюць «канфігурацыйную прастору» (рух сістэмы адлюстроўваецца рухам пункта ў гэтай прасторы); сукупнасць станаў фізічнай сістэмы разглядаецца як «фазавая прастора» сістэмы і інш.

Геаметрыя — аксіяматычная навука. Яе аснову складае рад аксіём, на якіх будуюцца ўсе іншыя яе палажэнні.

Асноўныя паняцці геаметрыі (лінія, паверхня, пункт, геаметрычнае цела) узніклі ў выніку абстрагавання ад іншых уласцівасцей цел (напрыклад, масы, колеру). Параўнанне цел абумовіла ўзнікненне паняццяў даўжыні, плошчы, аб'ёму, меры вугла.

Класіфікацыя геаметрыі, прапанаваная Клейнам у «Эрлангенскай праграме»^be_ru ў 1872 годзе і заснаваная на інварыянтнасці геаметрычных аб'ектаў адносна розных груп пераўтварэнняў, захоўваецца да гэтага часу.

Гісторыя

Самыя простыя геаметрычныя звесткі і паняцці былі вядомы ў Старажытным Егіпце, Вавілоне, Кітаі, Індыі. Геаметрычныя палажэнні фармуляваліся ў выглядзе правіл з элементарнымі доказамі або без доказаў. Самастойнай навукай геаметрыя стала ў Старажытнай Грэцыі (5 ст. да н.э.). Геаметрыя ў аб'ёме, які прыкладна адпавядае сучаснаму курсу элементарнай геаметрыі, выкладзена ў «Пачатках» Эўкліда (3 ст. да н.э.). Развіццё астраноміі і геадэзіі прывяло да стварэння плоскай і сферычнай трыганаметрыі (1—2 ст. да н.э.).

Інтэнсіўнае развіццё геаметрыі пачынаецца з 17 ст.: Р. Дэкарт прапанаваў метад каардынат; І. Ньютан і Г. Лейбніц стварылі дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне, што дало магчымасць вывучаць геаметрычныя аб'екты метадамі алгебры і аналізу бесканечна малых (гл. алгебраічная геаметрыя, аналітычная геаметрыя, дыферэнцыяльная геаметрыя), Ж. Дэзарг і Б. Паскаль заклалі асновы праектыўнай геаметрыі. У працах Г.Монжа (18 ст.) сучасны выгляд набыла начартальная геаметрыя.

У 1826 годзе М. І. Лабачэўскі пабудаваў геаметрыю на аснове сістэмы аксіём, якія адрозніваюцца ад эўклідавай толькі аксіёмай аб паралельных прамых. Стала магчымым будаванне разнастайных прастор з рознымі геаметрыямі (т.зв. неэўклідавы геаметрыі), сістэматызацыя якіх магчыма з дапамогай тэорыі груп. Пасля гэтага павялічылася роля і пашырылася выкарыстанне аксіяматычнага метаду.

У 1872 годзе Ф. Клейн сфармуляваў новае тлумачэнне геаметрыі як навукі аб уласцівасцях, інварыянтных адносна зададзенай групы пераўтварэнняў. Паралельна развіваўся лагічны аналіз асноў геаметрыі, высвятляліся пытанні несупярэчлівасці, мінімальнасці і паўнаты сістэмы аксіём. Вынікі гэтых работ падвёў Д. Гільберт у кнізе «Асновы геаметрыі» (1899).

У працах савецкіх матэматыкаў П. С. Аляксандрава, Л. С. Пантрагіна, П. С. Урысона развіваліся асноўныя напрамкі тапалогіі. Напрамак «геаметрыя ў цэлым» заснавалі савецкія матэматыкі А. Д. Аляксандраў, М. У. Яфімаў, А. В. Пагарэлаў.

На Беларусі станаўленне сучаснай геаметрыі пачалося ў 1930-я гады. Былі атрыманы важныя вынікі ў праблеме ўкладання рыманавых прастор у эўклідавы і рыманавы прасторы (Ц. Л. Бурстын); метадамі вонкавых форм даследаваны лініі і паверхні Картана ў неэўклідавых прасторах (Л. К. Тутаеў); адкрыты клас аднародных прастор і распрацавана іх тэорыя (В. І. Вядзернікаў, А. С. Фядзенка, Б. П. Камракоў).

Асноўныя паняцці

Паняцці пункта, прамой і плоскасці з'яўляюцца зыходнымі паняццямі геаметрыі.

Акрамя таго, у геаметрыі важную ролю адыгрываюць метрычныя паняцці даўжыні, плошчы, аб'ёму, меры вугла.

Раздзелы

Элементарная геаметрыя (еўклідава геаметрыя) падзяляецца на планіметрыю, якая вывучае фігуры на плоскасці, і стэрэаметрыю, якая вывучае фігуры ў прасторы. Інакш кажучы, планіметрыя — гэта двухмерная геаметрыя, а стэрэаметрыя — трохмерная. Важную частку еўклідавай геаметрыі складае вывучэнне фігур, якія можна пабудаваць з дапамогай лінейкі і (або) цыркуля.

Аналітычная геаметрыя вывучае фігуры, якія з'яўляюцца графічным прадстаўленнем алгебраічных выразаў. Яна з'яўляецца «мастом», які злучае геаметрыю з алгебрай.

Дыферэнцыяльная геаметрыя вывучае геаметрычныя фігуры з выкарыстаннем сродкаў матэматычнага аналізу.

Гл. таксама

Літаратура

Геаметрыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 5: Гальцы — Дагон / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1997. — Т. 5. С. 121.
Геометрия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Физматгиз, 1963. — Кн. 4 : Геометрия. — 568 с.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Наука, 1966. — Кн. 5 : Геометрия. — 624 с.
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. М., 1990.
Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. І. Мн., 1984.
Дифференциальная геометрия. Мн., 1982.
Феденко А. С. Пространства с симметриями. Мн., 1977.