Цялесны вугал: Розніца паміж версіямі
| [недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др вырашэнне неадназначнасцей using AWB |
др стылявыя змены, арфаграфія |
||
Радок 1:
[[Выява:Stéradian 01.png|thumb|справа|Цялесны вугал]]
'''Цялесны вугал'''
Цялесны вугал вымяраецца
:: <math>\Omega\,=\,{S\over R^2}.</math>
[[Выява:Steradian.svg|thumb|справа|[[Стэрадыян]]]]
Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (
Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны <math>~4\pi</math> стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з'яўляецца цялесны вугал, пад якім Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла. Цялесны вугал мае нулявую фізічную
Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай <math>~\Omega</math>.
Радок 67 ⟶ 69:
= \iint\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},</math>
дзе <math>r, \vartheta, \varphi</math>
== Уласцівасці цялесных вуглоў ==
Радок 75 ⟶ 77:
== Велічыні некаторых цялесных вуглоў ==
* [[Трохвугольнік]] з каардынатамі вяршынь <math>\mathbf{r}_1</math>, <math>\mathbf{r}_2</math>, <math>\mathbf{r}_3</math> бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом
: <math>\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},</math>▼
дзе <math>(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)</math> —
* Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога [[конус]]а з вуглом раствора α роўны <math>\Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2})</math>. Калі вядомы радыус асновы <math>R</math> і вышыня <math>H</math> конуса, то <math>\Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}})</math>.
▲<math>\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},</math>
▲дзе <math>(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)</math> - змяшаны твор дадзеных вектараў, <math>(\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j)</math> - скалярны твор адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам - іх даўжыні. Выкарыстоўваючы гэту формулу, можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі [[шматвугольнік]]амі з вядомымі каардынатамі вяршыняў (для гэтага дастаткова разбіць шматвугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).
▲* Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога [[конус]]а з вуглом раствора α роўны <math>\Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2})</math>. Екалі вядомы радыус падставы <math>R</math> і высата <math>H</math> конуса, то <math>\Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}})</math>. Калі вугал раствора конусу малы,<math>\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4}</math> (<math>\alpha</math> выражана ў радыянах), ці <math>\Omega \approx 0,000239 \alpha^2</math> (<math>\alpha</math> выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з [[Планета Зямля|Зямлі]] бачныя [[Месяц, спадарожнік Зямлі|Месяц]] і [[Сонца]] (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10<sup>−5</sup> стэрадыян, або ≈ 0,0005% плошчы [[Нябесная сфера|нябеснай сферы]] (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).
* Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў [[радыян]]ах:
* Цялесны вугал трохграннага вугла
:: <math>\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>, где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math>
: Праз двухгранныя вуглы <math>\alpha, \beta, \gamma</math> цялесны вугал выражаецца
:: <math>\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi</math>
* Цялесны вугал пры вяршыні [[куб]]а (або любога іншага
* Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны <math>\frac{1}{N}</math> поўнага цялеснага вугла, або <math>\frac{4\pi}{N}</math> стэрадыян.
== Гл. таксама ==
{{commonscat|Solid angle}}▼
* [[Вугал]]
* [[Двухгранны вугал]]
* [[Трохгранны вугал]]
* [[Шматгранны вугал]]
== Спасылкі ==
▲{{commonscat|Solid angle}}
[[Катэгорыя:Геаметрычныя фігуры]]
| |||