Асімптота

Асімпто́та (ад ст.-грэч. ἀσύμπτωτος — несупадальная, не датычная крывой з бесканечнай галіной) — прамая, якая валодае той уласцівасцю, што адлегласць ад пункта крывой да гэтай прамой імкнецца да нуля пры аддаленні пункта ўздоўж галіны ў бесканечнасць.

Фармальна прамая называецца асімптотай графіка функцыі $f$, калі адлегласць ад пункта $M$, які належыць графіку, да гэтай прамой імкнецца да $0$.

Віды асімптот

Існуюць 3 віды асімптот: вертыкальныя, гарызантальныя і нахільныя.

Вертыкальная асімптота

Калі $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty$, то прамая $x=x_{0}$ — вертыкальная асімптота.

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty$ — ніжняя вертыкальная асімптота.

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty$ — верхняя вертыкальная асімптота.

Гарызантальная асімптота

Калі існуе канцавы $\lim _{x\to -\infty (+\infty )}f(x)=A$, то прамая $y=A$ гарызантальная правая (левая) асімптота.

Нахільная асімптота

Графік функцыі $x\operatorname {arctg} x$ з двума нахільнымі асімптотамі

Няхай крывая $y=f(x)$ мае нахільную асімптоту $y=kx+b$. Каб знайсці яе, патрэбна ведаць $k$ i $b$.

Паводле азначэння асімптоты функцыі, адлегласць паміж пунктам $M$ крывой $y=f(x)$ і прамой $y=kx+b$ імкнецца да $0$, калі $x\to \infty$.

Калі $\lim _{x\to \infty }(f(x)-(kx+b))=0$, то прамая $y=kx+b$ з’яўляецца нахіленай асімптотай крывой $y=f(x)$.

З папярэдняга азначэння і $\lim _{x\to \infty }{\dfrac {1}{x}}=0$ вынікае, што:

$\lim _{x\to \infty }{\Big (}{\dfrac {f(x)}{x}}-k-{\dfrac {b}{x}}{\Big )}=0\ \Rightarrow \ \lim _{x\to \infty }{\dfrac {f(x)}{x}}=k.$

А таксама вынікае, што:

$\lim _{x\to \infty }(f(x)-kx)=b.$

Заўвага 1: Асімптатычныя змяненні функцыі могуць быць рознымі, калі $x\to +\infty$ або $x\to -\infty$. Менавіта таму патрэбна разглядаць абодва выпадкі.

Напрыклад, разгледзім асімптоты функцыі $f(x)=x\operatorname {arctg} x$. Будзем шукаць нахільныя асімптоты $y=kx+b$, калі $x\to \pm \infty$.

$k_{1}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x\operatorname {arctg} x}{x}}={\dfrac {\pi }{2}};$

$b_{1}=\lim _{x\to +\infty }x{\Big (}\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}{\Big )}=(\infty \cdot 0)=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1}{x}}}=-\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x^{2}}{1+x^{2}}}=-1.$

$k_{2}=\lim _{x\to -\infty }x\operatorname {arctg} x=-{\dfrac {\pi }{2}};$

$b_{2}=\lim _{x\to -\infty }(x\operatorname {arctg} x+{\dfrac {\pi }{2}})=-1.$

Такім чынам, прамыя $y={\dfrac {\pi x}{2}}-1$ i $y=-{\dfrac {\pi x}{2}}-1$ — нахільныя асімптоты.

Заўвага 2: Калі функцыя — алгебраічны дроб выгляду ${\dfrac {f(x)}{g(x)}}$, дзе $f(x)$ i $g(x)$ — мнагасклады, тады, калі ступень лічніка толькі на адзінку больш за ступень назоўніка, то графік функцыі мае нахільную асімптоту, калі ж ступень лічніка не больш за ступень назоўніка, то — гарызантальную асімптоту.

Літаратура

• Гуло І. М., Шалік Э. У., Ражко А. К. Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай: вучэб.-метад. дапам., Мінск: БДПУ, 2011.