Вышыня трохвугольніка

Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану. У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

Уласцівасці

Вышыні трохвугольніка

Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):

{\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы

{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

Асноўныя суадносіны

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ,$
$h_{a}={\frac {2S}{a}},$

дзе $S$ — плошча трохвугольніка, $a$ — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab.$
${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}$ , дзе r — радыус упісанай акружнасці.
Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:

h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},

дзе $c$ — аснова.

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка

Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці: