Дыфракцыя Фрэнеля

Дыфракцыя Фрэнеля — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

Схема эксперыменту дыфракцыі на круглай адтуліне
Дыфракцыя Фрэнеля:


Дыфракцыя Фраўнгофера:

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры прасталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

Інтэграл ФрэнеляПравіць

У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце (x,y,z) задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:

 

дзе  ,  уяўная адзінка, і   — косінус кута паміж кірункамі z і r. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

Апраксімацыя ФрэнэляПравіць

Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для r. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

 

Падстаўляючы гэты выраз замест r, знойдзем:

 

Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

 

і выкажам r у выглядзе

 

Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам[1]. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць  :

 

Выяўляючы k у тэрмінах даўжыні хвалі,

 

атрымаем наступныя суадносіны:

 

Памнажаючы абодва бакі на  , атрымаем

 

ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ2,

 

Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў x, x' , y і y' , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

 

Гэты выраз завецца набліжэннем Фрэнэля, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

Дыфракцыя ФрэнэляПравіць

Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні x і y шмат менш, чым z, выкажам здагадку  , што азначае  , і r у назоўніку можна апраксімаваць выразам  .

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце (x,y,z) дадзена ў выглядзе:

 

Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж z. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

Гл. таксамаПравіць

Зноскі

  1. Набліжэнне аднак было на папярэднім кроку, калі мы выказалі здагадку, што   рэальная хваля. У рэчаіснасці не існуе сапраўднага рашэння вектарнага раўнання Гельмгольца, толькі для скалярнага. Гл. скалярнае хвалевае набліжэнне

СпасылкіПравіць