Дыфракцыя Фрэнеля

Дыфракцыя Фрэнеля — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

Схема эксперыменту дыфракцыі на круглай адтуліне

Дыфракцыя Фрэнеля: $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\geqslant 1$

Дыфракцыя Фраўнгофера: $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\ll 1$

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры просталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

Інтэграл Фрэнеля

У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце (x,y,z) задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{-\infty }^{+\infty }{E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}\cos \theta }dx'dy'$

дзе $r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}$, $i\,$ — уяўная адзінка, і $\cos \theta ={\frac {z}{r}}$ — косінус кута паміж кірункамі z і r. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

Апраксімацыя Фрэнэля

Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для r. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

$\rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,$

Падстаўляючы гэты выраз замест r, знойдзем:

$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}$

Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

${\sqrt {1+u}}=(1+u)^{1/2}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots$

і выкажам r у выглядзе

$r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots$

Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць $2\pi$:

$k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .$

Выяўляючы k у тэрмінах даўжыні хвалі,

$k={2\pi \over \lambda }\,$

атрымаем наступныя суадносіны:

${\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8$

Памнажаючы абодва бакі на $z/\lambda$, атрымаем

${\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }$

ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ²,

${\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }$

Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў x, x' , y і y' , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

$r\approx z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}$

Гэты выраз завецца набліжэннем Фрэнэля, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

Дыфракцыя Фрэнэля

Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні x і y шмат менш, чым z, выкажам здагадку $\theta \approx 0$, што азначае $\cos \theta \approx 1$, і r у назоўніку можна апраксімаваць выразам $r\approx z$.

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце (x,y,z) дадзена ў выглядзе:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{ikz} \over z}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'$

Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж z. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

Гл. таксама

• Дыфракцыя Фраўнгофера
• Інтэграл Кірхгофа
• Інтэгралы Фрэнэля

Спасылкі

• http://www.falstad.com/diffraction/