Зваротнае ўраўненне

Зваро́тнае ўраўне́нне — алгебраічнае ўраўненне віду:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0,

дзе каэфіцыенты, якія стаяць на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах, роўныя, г.зн.

a_{n-k}=a_{k}

пры k = 0, 1, …, n.

Ураўненне чацвёртай ступені правіць

Разгледзім зваротнае ўраўненне чацвёртай ступені віду

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,

дзе a, b і c — некаторыя лікі, прычым a ≠ 0.

Алгарытм рашэння такіх ураўненняў:

падзяліць левую і правую часткі ўраўнення на $x^{2}$ . Пры гэтым рашэнні не губляюцца, бо x = 0 не з'яўляецца коранем зыходнага ўраўнення пры a ≠ 0;
групоўкай прывесці атрыманае ўраўненне да выгляду
$a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0;$
увесці новую пераменную
$t={x+{1 \over x}},$

тады выконваецца

$t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}},$ г.зн. ${x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2};$
у новых пераменных ураўненне будзе квадратным:
$at^{2}+bt+c-2a=0;$
рашыць яго адносна t, вярнуцца да зыходнай пераменнай.

Калі для каэфіцыентаў ураўнення

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

выконваецца роўнасць

{\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2},

тады такое ўраўненне можна звесці да квадратнага ўраўнення адносна t падстаноўкай

t=bx+{\frac {d}{x}}.

Адсюль, напрыклад, вынікае, што ўраўненне

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0

зводзіцца да квадратнага адносна t падстаноўкай

t=x-{\frac {1}{x}}.

Для зваротных ураўненняў вышэйшых ступеней справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

Зваротнае ўраўненне цотнай ступені зводзіцца да ўраўнення ўдвая меншай ступені падстаноўкай
$x+{\frac {1}{x}}=t.$

Зваротнае ўраўненне няцотнай ступені абавязкова мае корань x = −1 і пасля дзялення мнагачлена ў левай частцы гэтага ўраўнення на двухчлен x + 1, прыводзіцца да зваротнага ўраўнення цотнай ступені.