Медыяна трохвугольніка

Медыя́на трохвуго́льніка (лац.: mediāna — сярэдняя) ― адрэзак унутры трохвугольніка, якія злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінаю процілеглай стараны, а таксама прамая, якая ўтрымлівае гэты адрэзак.

Трохвугольнік і яго медыяны.

Уласцівасці

• Медыяны трохвугольніка перасякаюцца з адным пункце, які называецца цэнтроідам ці цэнтрам цяжару трохвугольніка, і дзеляцца гэтым пунктам на дзве часткі ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
• Медыяна разбівае трохвугольнік на два роўнавялікія трохвугольнікі.
• Трохвугольнік дзеліцца трыма медыянамі на шэсць роўнавялікіх трохвугольнікаў.
• Большай старане трохвугольніка адпавядае меншая медыяна.
• З вектараў, утвараючых медыяны, можна скласці трохвугольнік.
• Пры афінных пераўтварэннях медыяна пераходзіць у медыяну.
• Формула медыяны праз стораны (выводзіцца з тэарэмы Сцюарта ці дабудоваю да паралелаграма і выкарыстаннем роўнасці ў паралелаграме сумы квадратаў старон і сумы квадратаў дыяганалей):

  $m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}},$

  дзе m_c — медыяна к старане c; a, b, c — стораны трохвугольніка,

• У прыватнасці, сума квадратаў медыян адвольнага трохвугольніка ў 4/3 раза меншая за суму квадратаў яго старон:

  $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$

• Формула стараны праз медыяны:

  $a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}},$

  дзе $m_{a},m_{b},m_{c}$ медыяны да адпаведных старон трохвугольніка, $a,b,c$ — стораны трохвугольніка.

Гл. таксама

• Цэнтроід

Спасылкі

• Асноўныя лініі трохвугольніка (руск.)