Параметры Стокса

Параметры Стокса — набор велічынь, якія апісваюць вектар палярызацыі электрамагнітных хваляў, уведзены ў фізіку Дж. Стоксам у 1852 годзе^[1]. Параметры Стокса ёсць варыянтам апісання некагерэнтнага ці часткова палярызаванага выпраменьвання ў тэрмінах поўнай інтэнсіўнасці, ступені палярызацыі і формы эліпса палярызацыі.

Азначэнне правіць

Сфера Пуанкарэ дазваляе візуалізаваць параметры Стокса як праекцыі вектара

I

на каардынатныя восі

Выява палярызацый на сферы Пуанкарэ

У выпадку плоскай манахраматычнай хвалі параметры Стокса звязаны з параметрамі палярызацыйнага эліпса наступным чынам:^[2]

{\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\S_{1}&=Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=V=I\sin 2\chi \end{aligned}}

Палярызацыйны эліпс

Тут $E_{a}$ і $E_{b}$ — вялікая і малая паўвосі палярызацыйнага эліпса, $\psi$ — вугал павароту палярызацыйнага эліпса адносна адвольнай лабараторнай сістэмы каардынат, мае назву азімута эліптычна-палярызаванага выпраменьвання^[3] (ці коратка — азімут), а вугал, вызначаемы з умовы дзелі малой паўвосі да вялікай $\mathrm {tg} \,{\chi }=E_{b}/E_{a}$ — вугал эліптычнасці эліпса палярызацыі. Няцяжка заўважыць, што $S_{1}$ , $S_{2}$ і $S_{3}$ з’яўляюцца праекцыямі $S_{0}$ на нейкія каардынатныя восі. У выніку незалежнымі являются тры параметры Стокса, паколькі:

I^{2}=Q^{2}+U^{2}+V^{2}

Параметры Стокса можна звязать з велічынямі, непасрэдна вымяраемымі на вопыце. Няхай $E_{1}$ і $E_{2}$ — амплітуды змянення вектара ${\vec {E}}$ ў двух адвольных артаганальных накірунках, а $\delta$ — рознасць фаз ваганняў у гэтых накірунках. Тады:

{\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}\\S_{1}&=Q=E_{1}^{2}-E_{2}^{2}\\S_{2}&=U=2E_{1}E_{2}\cos \delta \\S_{3}&=V=2E_{1}E_{2}\sin \delta \end{aligned}}

Заўвага: у дадатак да варыянтаў абазначэнняў $S_{0}$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ ці $I$ , $Q$ , $U$ , $V$ у некаторых навуковых традыцыях можна сустрэць абазначэнні параметраў вектара $I$ , $M$ , $C$ , $S$ або $I$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ці $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ .

Прыватныя выпадкі правіць

Выразім з дапамогай параметраў Стокса лінейную палярызацыю. У гэтым выпадку рознасць фаз у любых артаганальных накірунках павінна быць роўная $\delta =m\pi$ , дзе $m$ — цэлы лік. Тады атрымліваем

{\begin{aligned}I&=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\\Q&=I\cos {2\chi }\cos {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\cos {2\psi }=I\cos {2\psi }\\U&=I\cos {2\chi }\sin {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\sin {2\psi }=I\sin {2\psi }\\V&=I\sin {2\chi }=I{\frac {2E_{1}E_{2}}{I}}\sin {\delta }=0\end{aligned}}

Няхай лабараторная вось адліку была выбрана гарызантальнай, як часта гэта й робіцца. Калі $\psi =0$ , то атрымліваецца гарызантальная лінейная палярызацыя, калі $\psi =\pm {\frac {\pi }{2}}$ , то гэта ёсць вертыкальная лінейная палярызацыя.

У табліцы прыведзеныя значэнні параметраў Стокса для трох прыватных выпадкаў

Палярызацыя	Параметры Стокса
Палярызацыя	$I$	$Q$	$U$	$V$
Лінейная	$I$	$I\cos {2\psi }$	$I\sin {2\psi }$	$0$
Правая кругавая	$I$	$0$	$0$	$I$
Левая кругавая	$I$	$0$	$0$	$-I$

Вектары Стокса правіць

Часта чатыры параметры Стокса аб’ядноўваюць у адзін чатырохмерны вектар, што завецца вектарам Стокса:

{\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}

Вектар Стокса ахоплівае прастору непалярызаванага, часткова палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. Для параўнання, вектар Джонса, які таксама ужываецца для апісання палярызацыі, можна выкарыстоўваць толькі для цалкам палярызаванага выпраменьвання, у выніку той больш карысны для задач, звязаных з кагерэнтным выпраменьваннем.

Уплыў аптычнай сістэмы на палярызацыю святла, якое падае на яе, і зададзенага вектарам Стокса, можна разлічыць з дапамогай пераўтварэння Мюллера.

Прыклады правіць

Ніжэй паказаныя вектары Стокса для некаторых простых варыянтаў палярызацыі святла.

Гарызантальная палярызацыя	Вертыкальная палярызацыя	Лінейная палярызацыя (+45°)	Лінейная палярызацыя (−45°)
${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}$
Левая кругавая палярызацыя	Правая кругавая палярызацыя
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$
Непалярызаванае святло
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Параметры Стокса для квазіманахраматычнага выпраменьвання правіць

У квазіманахраматычным выпраменьванні прысутнічаюць хвалі розных, хоть і блізкіх частот. Няхай $a_{1}$ і $a_{2}$ — імгненныя амплітуды ў двух узаемна-перпендыкулярных накірунках. Тады параметры Стокса задаюцца наступнымі выражэннямі:^[4]

{\begin{aligned}I&=\langle a_{1}^{2}\rangle +\langle a_{2}^{2}\rangle \\Q&=\langle a_{1}^{2}\rangle -\langle a_{2}^{2}\rangle \\U&=2\langle a_{1}a_{2}\cos \delta \rangle \\V&=2\langle a_{1}a_{2}\sin \delta \rangle \end{aligned}}

Для вызначэння параметраў Стокса увядзем інтэнсіўнасць $I(\theta ,\epsilon )$ ваганняў у накірунку, што ўтварае вугал $\theta$ з накірункам восі Ox, калі іх y-кампанента запазняецца на велічыню $\epsilon$ у адносінах да x-кампаненты. Тады

{\begin{aligned}I&=I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\\Q&=I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\\U&=I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\\V&=I\left(45^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)-I\left(135^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}

У адрозненне ад манахраматычнага выпраменьвання, у квазіманахраматычным выпадку параметры Стокса незалежныя і звязаныя няроўнасцю

I^{2}\geqslant Q^{2}+U^{2}+V^{2}

Гэту няроўнасць можна растлумачыць, уявіўшы, што квазіманахраматычнае выпраменьванне складаецца з цалкам палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. На аснове гэтага можна ўвесці ступень палярызацыі:

p={\frac {\sqrt {Q^{2}+U^{2}+V^{2}}}{I}}

Камплекснае прадстаўленне правіць

Увядзём камплексную інтэнсіўнасць лінейнае палярызаванае хвалі

{\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\\&\equiv &Q+iU.\\\end{matrix}}

Можна паказаць, што пры павароце $\theta \rightarrow \theta +\theta '$ палярызацыйнага эліпса велічыні $I$ і $V$ остаются нязменнымі, а велічыні $L$ , $Q$ і $U$ мяняюцца наступным чынам:

{\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}

Дзякуючы гэтым уласцівасцям параметры Стокса можна звесці да трох абагульненых інтэнсіўнасцяў:

{\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}

дзе $I$ — поўная інтэнсіўнасць, $|V|$ — інтэнсіўнасць кампаненты з кругавой палярызацыяй, а $|L|$ — інтэнсіўнасць лінейна палярызаваной кампаненты выпраменьвання. Поўная інтэнсіўнасць палярызаванага выпраменьвання ёсць $I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}$ , а арыентацыя і накіраванне кручэння вызначаюцца раўнаннямі

{\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}

Паколькі $Q={\mbox{Re}}(L)$ , а $U={\mbox{Im}}(L)$ , то

{\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}

Гл. таксама правіць

Палярызацыя святла

Крыніцы правіць

↑ S. Chandrasekhar 'Radiative Transfer, Dover Publications, New York, 1960, ISBN 0-486-60590-6, page 25
↑ Thomas L. Wilson, Kristen Rohlfs, Susane Hüttemeister — Tools of Radio Astronomy, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-85121-9, ISBN 978-3-540-85122-6
↑ ГОСТ 23778-79 Измерения оптические поляризационные. Термины и определения. — Государственный комитет СССР по стандартам. — М., 1979. — С. 2-3. — 16 с.
↑ М.Борн, Э. Вольф — Основы Оптики, М. «Наука», 1973

Літаратура правіць

E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
William H. McMaster (1954). "Polarization and the Stokes Parameters". Am. J. Phys. 22: 351. Bibcode:1954AmJPh..22..351M. doi:10.1119/1.1933744.
William H. McMaster (1961). "Matrix representation of polarization". Rev. Mod. Phys. 33: 8. Bibcode:1961RvMP...33....8M. doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

Спасылкі правіць

Stokes parameters and polarisation

[1] S. Chandrasekhar 'Radiative Transfer, Dover Publications, New York, 1960, ISBN 0-486-60590-6, page 25

[2] Thomas L. Wilson, Kristen Rohlfs, Susane Hüttemeister — Tools of Radio Astronomy, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-85121-9, ISBN 978-3-540-85122-6

[3] ГОСТ 23778-79 Измерения оптические поляризационные. Термины и определения. — Государственный комитет СССР по стандартам. — М., 1979. — С. 2-3. — 16 с.

[4] М.Борн, Э. Вольф — Основы Оптики, М. «Наука», 1973

[1]

[2]

[3]

[4]