Поле (алгебра)

По́ле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле $\mathbb {R}$ рэчаісных лікаў, поле $\mathbb {Q}$ рацыянальных лікаў і поле $\mathbb {C}$ камплексных лікаў.

Строгае азначэнне

Агульнае азначэнне

Поле − гэта мноства $K$, на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «$+$» і " $\cdot$ " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

1. $\left(K,+\right)$ ёсць абелева група (з нейтральным элементам 0)
2. $\left(K\setminus \left\{0\right\},\cdot \right)$ ёсць абелева група (з нейтральным элементам 1)
3. Выконваецца размеркавальны закон: для любых $a,b,c\in K$ справядліва:

   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,$ (левы размеркавальны закон)

   $\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (правы размеркавальны закон)

Пералік неабходных аксіём

Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:

1. Уласцівасці складання:
   1. $a+(b+c)=(a+b)+c$ (спалучальны закон)
   2. $a+b=b+a$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент $0\in K$ такі, што $0+a=a$ (нейтральны элемент)
   4. Для кожнага $a\in K$ існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент $-a$, такі што $(-a)+a=0$
2. Уласцівасці множання:
   1. $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (спалучальны закон)
   2. $a\cdot b=b\cdot a$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент $1\in K\setminus \{0\}$, такі што $1\cdot a=a$ (нейтральны элемент).
   4. Для кожнага $a\in K\setminus \{0\}$ існуе адваротны адносна множання элемент $a^{-1}$, такі што $a^{-1}\cdot a=1$
3. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
   1. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (левы размеркавальны закон)
   2. $1\neq 0$ (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

вынікае з астатніх уласцівасцей:

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$

Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.