Адкрыць галоўнае меню

Поле (алгебра)

(Пасля перасылкі з Поле, алгебра)

По́ле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле рэчаісных лікаў, поле рацыянальных лікаў і поле камплексных лікаў.

Строгае азначэннеПравіць

Агульнае азначэннеПравіць

Поле − гэта мноства  , на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі « » і "   " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

  1.   ёсць абелева групанейтральным элементам 0)
  2.   ёсць абелева групанейтральным элементам 1)
  3. Выконваецца размеркавальны закон: для любых   справядліва:
      (левы размеркавальны закон)
      (правы размеркавальны закон)

Пералік неабходных аксіёмПравіць

Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:

  1. Уласцівасці складання:
    1.   (спалучальны закон)
    2.   (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент   такі, што   (нейтральны элемент)
    4. Для кожнага   існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент  , такі што  
  2. Уласцівасці множання:
    1.   (спалучальны закон)
    2.   (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент  , такі што   (нейтральны элемент).
    4. Для кожнага   існуе адваротны адносна множання элемент  , такі што  
  3. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
    1.   (левы размеркавальны закон)
    2.   (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

 

вынікае з астатніх уласцівасцей:

 

Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

ЛітаратураПравіць

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.