Транспанаваная матрыца

Транспанава́ная ма́трыца — матрыца $A^{T}$, атрыманая з зыходнай матрыцы $A$ заменай радкоў на слупкі.

Фармальна, транспанаваная матрыца для матрыцы $A$ памераў $m\times n$ — матрыца $A^{T}$ памераў $n\times m$, вызначаная як AA^T[i, j] = A[j, i].

Напрыклад,

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$      таксама      ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Колькасць радкоў транспанаванай матрыцы роўная колькасці слупкоў зыходнай і наадварот.

Уласцівасці транспанаванай матрыцы

• $~(A^{T})^{T}=A$

Двойчы транспанаваная матрыца А роўная зыходнай матрыцы А.

• $~(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

Транспанаваная сума матрыц роўная суме транспанаваных матрыц.

• $~(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

Транспанаваны здабытак матрыц роўны здабытку транспанаваных матрыц, узятых у зваротным парадку.

• $~(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$

Пры транспанаванні можна выносіць скаляр.

• $~\det A=\det A^{T}$

Вызначнік транспанаванай матрыцы роўны вызначніку зыходнай матрыцы.

Звязаныя вызначэнні

Сіметрычная матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам $A^{T}=A$. Для таго, каб матрыца А была сіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя.

Антысіметрычная (косасіметрычная) матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам $A^{T}=-A$. Для таго, каб матрыца А была антысіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя па модулі і розныя па знаку,

Адсюль вынікае, што элементы галоўнай дыяганалі такой матрыцы (могуць) раўняюцца нулю.

Літаратура

• Транспанава́ная ма́трыца // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 508. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).
• Транспанава́ная ма́трыца // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 340. — 496 с. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• 586. Транспони́рованная ма́трица // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — 847 с. — 150 000 экз.
• Транспонированная матрица // Толковый словарь математических терминов : (Около 1800 терминов) : [Пособие для учителей] (руск.) / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин ; под ред. проф. В. А. Диткина. — М.: Просвещение, 1965. — С. 457. — 539 с. — 102 000 экз.