Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу , што .

Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:

ПрыкладыПравіць

 

УласцівасціПравіць

Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .

Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:

  • яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
  • яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
 
  • з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
  • матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду:  , дзе  артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
  • Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне  , то яна мае дыяганальны выгляд:  , дзе  адзінкавая матрыца, у любым базісе .

Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцыПравіць

Сіметрычная матрыца   памерам   з'яўляецца станоўча вызначанай, калі  .
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.