Адзінкавая матрыца

Адзінкавая матрыца — квадратная матрыца, элементы галоўнай дыяганалі якой роўныя адзінцы поля, а астатнія роўныя нулю.

Азначэнне

Квадратная матрыца $E_{n}=(e_{ij})$ памеру (парадку $n$), дзе $e_{ii}=1$ для ўсякага $i\in {\overline {1,n}}$ для ўсякіх $i\neq j$, называецца адзінкавай матрыцай парадку $n$.

Адзінкавую матрыцу можна вызначыць як матрыцу $(e_{ij})$, у якой $e_{ij}=\delta _{ij}$, де $\delta _{ij}$ — сімвал Кронэкера.

Адзінкавая матрыца з’яўляецца частковым выпадкам скалярнай матрыцы.

Абазначэнне

Адзінкавая матрыца памеру $n\times n$ звычайна абазначаецца $E_{n}$ і мае выгляд:

$E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},$

Гэтак жа выкарыстоўваецца і іншае пазначэнне: $I_{n}$.

Калі з кантэксту ясна, якога памеру матрыца, то ніжні індэкс (які паказвае парадак) апускаецца: $E$, $I$.

Уласцівасці

• Здабытак любой матрыцы і адзінкавай матрыцы падыходнага памеру роўны самой матрыцы:

$AE=EA=A$

• Квадратная матрыца ў нулявой ступені дае адзінкавую матрыцу таго ж памеру:

$A^{0}=E$

• Пры памнажэнні матрыцы на адваротную ёй таксама атрымліваецца адзінкавая матрыца:

$\!AA^{-1}=E$

• Адзінкавая матрыца атрымліваецца пры памнажэнні артаганальнай матрыцы на яе транспанаваную матрыцу:

$AA^{T}=E$

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

$\mathrm {det} \,E=1$.

Прыклады

Адзінкавыя матрыцы першых парадкаў маюць выгляд

$E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Заўвага

Калі ўзяць дзве матрыцы — матрыцу $A$ і адзінкавую $E$ — то, прывядзеннем матрыцы $A$ да адзінкавай метадам Гауса, можна дамагчыся адначасовага прывядзення матрыцы $E$ да матрыцы $A^{-1}$ наступным чынам: неабходна вырабляць над адзінкавай матрыцай тыя ж пераўтварэнні, якія вырабляюцца пры прывядзенні $A$ да адзінкавай. Матрыца, атрыманая з адзінкавай матрыцы $E$ будзе роўная $A^{-1}$.

Гл. таксама

• Нулявая матрыца