Удзельнік:Alexpres/Ураўненні Гамільтана

"'Ўраўненні Гамільтана"' у фізыцы і матэматыцы — сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў:

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}

дзе кропкай над "p" і "q" пазначаная вытворная па часе. Сістэма складаецца з 2"N" дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку ("j" = 1, 2, ..., N) для дынамічнай сістэмы, апісванай "N" (абагульненымі) каардынатамі, якія з'яўляюцца раўнаннямі руху (адной з формаў такіх раўнанняў, нароўні з раўнаннямі Лагранжа, якая з'яўляецца абагульненнем ньютоновскіх раўнанняў руху) сістэмы, дзе $H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t)$ — так званая "функцыя Гамільтана", таксама часам названая гамильтонианом, $t$ — час^[1], $q_{i}$ — (абагульненыя) каардынаты $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$ , $p_{i}$ — абагульненыя імпульсы $(p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})$ , якія вызначаюць стан сістэмы (пункт фазавага прасторы).

Ўраўненні Гамільтана шырока выкарыстоўваюцца ў Гамільтанавай механіцы і іншых галінах тэарэтычнай фізікі і матэматыкі.

Ньютонавскі фізічны сэнс правіць

Найбольш простая інтэрпрэтацыя гэтых раўнанняў заключаецца ў наступным. $H$ прадстаўляе ў найбольш простых выпадках энергію фізічнай сістэмы, якая ёсць сума кінетычнай і патэнцыйнай энергій, традыцыйна обозначаемых T і V адпаведна:

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m}},~V=V(q)=V(x)

У прыватным выпадку, калі "q = X" — дэкартавымі каардынаты кожнай матэрыяльнай кропкі сістэмы, запісаныя запар па тры , гэта значыць

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\dots

то кананічныя ўраўненні Гамільтана супадаюць, улічваючы папярэдні абзац, з раўнаннямі руху Ньютана ў выглядзе:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m

дзе ${\vec {X}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})$ , прычым кожнае подпространство дае радыус-вектар адпаведнай матэрыяльнай кропкі:

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4},X_{5},X_{6}),\;\dots

а абагульненыя імпульсы — адпаведныя кампаненты трохмерных імпульсаў гэтай кропкі:

{\vec {p}}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec {p}}_{2}=(P_{4},P_{5},P_{6}),\;\dots

Фундаментальная інтэрпрытацыя правіць

Функцыя Гамільтана па сутнасці ўяўляе сабой лакальны закон дысперсіі, які выказвае квантавую частату (частату ваганняў хвалевай функцыі) $\omega$ праз хвалевай вектар $\mathbf {k}$ для кожнай кропкі прасторы^[2]:

\omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ).

У класічным набліжэнні (пры вялікіх^[3] частотах і модуль хвалевага вектара і параўнальна павольнай залежнасці ад $\mathbf {x}$ ) гэты закон досыць відавочна апісвае рух хвалевага пакета праз кананічныя ўраўненні Гамільтана, адны з якіх ( ${\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}$ ) інтэрпрэтуюцца як формула групавы хуткасці, атрыманая з закона дысперсіі, а іншыя ( ${\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$ ) цалкам натуральна — як змяненне, у прыватнасці паварот, хвалевага вектара пры распаўсюджванні хвалі ў неаднароднай асяроддзі пэўнага тыпу.

Выснову раўнанняў Гамільтана правіць

Выснова з прынцыпу стацыянарнага дзеяння правіць

З прынцыпу найменшага (стацыянарнага) дзеяння ўраўненні гамільтана непасрэдна атрымліваюцца вар'іраваннем дзеянні

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt

,

незалежна па $q$ і $p$ .

Вывад з лагранжавай механікі правіць

Мы можам вывесці ўраўненні Гамільтана выкарыстоўваючы інфармацыю аб змене лагранжіана пры змене часу, каардынат і імпульсаў часціц.

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

абагульненыя імпульсы вызначаюцца як $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}$ , і ўраўненні Лагранжа абвяшчаюць: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i}$

дзе $F_{i}$ — непотенциальная абагульненая сіла. Апошні выраз пераўтвараецца да выгляду ${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}-F_{i}$ і вынік падстаўляецца ў варыяцыю лагранжиана

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

Можна запісаць:

$\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{{\dot {q}}_{i}}\right)-{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

і пераўтворыцца да форме:

$\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{{\dot {q}}_{i}}-L\right)=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t$

Множнік у левай частцы проста гамильтониан, які быў вызначаны раней. Такім чынам:

$\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t$

дзе другое роўнасць выконваецца ў сілу вызначэння прыватнай вытворнай.

Абагульненне з дапамогай дужак Пуасона правіць

Ўраўненні могуць быць запісаныя ў больш агульным выглядзе, калі выкарыстоўваць алгебру Пуасона над утваральнымі p і q. У гэтым выпадку, больш агульная форма раўнанняў Гамільтана абвяшчае

${\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}$ ,

дзе $A$ — гэта некаторая функцыя зменных $p$ , $q$ і $t$ , $H$ . З дужкамі Пуасона можна працаваць без звароту да дыферэнцыяльным раўнаннях, паколькі дужкі Пуасона цалкам аналагічныя дужкі Лі у алгебры Пуасона.

Гэты алгебраічны падыход дазваляе выкарыстоўваць размеркаванне верагоднасцяў для $q$ і $p$ , ён таксама дазваляе знайсці захоўваюцца велічыні (інтэгралы руху).

Ўраўненні Гамільтана з'яўляюцца аднымі з асноўных раўнанняў класічнай механікі.

Гл. таксама правіць

Заўвагі правіць

↑ Ад часу функцыя Гамільтана, наогул кажучы, можа залежаць відавочна, хоць у многіх фундаментальных выпадках такі залежнасці як раз няма.
↑ Паколькі энергія і імпульс і ёсць частата і хвалевай вектар, адрозніваючыся ад іх толькі універсальным пастаянным множнікам, які можа быць абраны і адзінкавым у падыходнай сістэме адзінак.
↑ Паколькі ў сувязь энергіі і частоты, імпульсу і хвалевага вектара у звычайных сістэмах адзінак ўваходзіць канстанта Планка, якая ў гэтых звычайных сістэмах адзінак вельмі малая, тое звычайным для класічнай механікі энергія і імпульсам адпавядаюць вельмі вялікія (у соизмерении з звычайнымі для класічнай механікі прасторавымі і часавымі маштабамі) частоты і хвалевыя вектары.

Літаратура правіць

Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959

[1] Ад часу функцыя Гамільтана, наогул кажучы, можа залежаць відавочна, хоць у многіх фундаментальных выпадках такі залежнасці як раз няма.

[2] Паколькі энергія і імпульс і ёсць частата і хвалевай вектар, адрозніваючыся ад іх толькі універсальным пастаянным множнікам, які можа быць абраны і адзінкавым у падыходнай сістэме адзінак.

[3] Паколькі ў сувязь энергіі і частоты, імпульсу і хвалевага вектара у звычайных сістэмах адзінак ўваходзіць канстанта Планка, якая ў гэтых звычайных сістэмах адзінак вельмі малая, тое звычайным для класічнай механікі энергія і імпульсам адпавядаюць вельмі вялікія (у соизмерении з звычайнымі для класічнай механікі прасторавымі і часавымі маштабамі) частоты і хвалевыя вектары.

[1]

[2]

[3]