Адкрыць галоўнае меню

Ураўненне Гамільтана — Якобі

У фізіцы і матэматыцы, ураўненнем Гамільтана — Якобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

Класічная механіка

Другі закон Ньютана
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»

Тут S абазначае класічнае дзеянне,  — гамільтаніян,  — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды s, у адрозненне ад 2s ураўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэннеПравіць

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі S(q, p', t) (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для H(q, p, t) і H'(q', p', t)

 

Новыя ўраўненні руху становяцца

 

Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі S, якая робіць H' роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

 

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі S дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

 

Паколькі ўраўненне (1) дае   можна запісаць

 

што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

РашэннеПравіць

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць метадам раздзялення пераменных[ru]. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра  ) і адпаведны ёй імпульс   ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

 

Тады можна ўзяць

 
 

дзе   — адвольная пастаянная,   — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

 

дзе   — адвольныя пастаянныя,   — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым   з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі  . Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

 

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

СпасылкіПравіць