Ураўненне Гамільтана — Якобі

У фізіцы і матэматыцы, ураўненнем Гамільтана — Якобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

Класічная механіка

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})$ Другі закон Ньютана

Гісторыя… Фундаментальныя паняцці Прастора · Час · Маса · Сіла Энергія · Імпульс Фармулёўкі Ньютанаўская механіка Лагранжава механіка Гамільтанава механіка Фармалізм Гамільтана — Якобі Раздзелы Прыкладная механіка Нябесная механіка Механіка суцэльных асяроддзяў Геаметрычная оптыка Статыстычная механіка Вучоныя Галілей · Кеплер · Ньютан Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамільтан · Кашы

$H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Тут S абазначае класічнае дзеянне, $H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ — гамільтаніян, $q_{i}$ — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды s, у адрозненне ад 2s ураўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі S(q, p', t) (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для H(q, p, t) і H'(q', p', t)

$(1)\qquad {\partial S \over \partial q}=p,\qquad {\partial S \over \partial p'}=q',\qquad H'=H+{\partial S \over \partial t}.$

Новыя ўраўненні руху становяцца

$(2)\qquad {\partial H' \over \partial q'}=-{dp' \over dt},\qquad {\partial H' \over \partial p'}={dq' \over dt}.$

Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі S, якая робіць H' роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

$(3)\qquad {dp' \over dt}={dq' \over dt}=0.$

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі S дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

$H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\partial S \over \partial t}=0.$

Паколькі ўраўненне (1) дае $p=\partial S/\partial q,$ можна запісаць

$H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0,$

што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць метадам раздзялення пераменных. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра $q_{1}$) і адпаведны ёй імпульс ${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}$ ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

${\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right),q_{2},\ldots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.$

Тады можна ўзяць

$f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right)=\alpha _{1},$

${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),$

дзе $\alpha _{1}$ — адвольная пастаянная, $g_{1}$ — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

$S=-\int H(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})dq_{n}+k,$

дзе $\alpha _{i}$ — адвольныя пастаянныя, $k$ — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым $S$ з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі $(q_{1},\dots ,q_{n})$. Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

$\beta _{i}={\partial S \over \partial \alpha _{i}}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},t).$

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама

• Гамільтанава механіка
• Ураўненні Гамільтана

Літаратура

• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

Спасылкі

• Гамильтона — Якоби уравнение — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі