Адкрыць галоўнае меню

Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.

Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.

ФармулёўкіПравіць

СлоўнаяПравіць

  1. 1 ёсць натуральным лікам;
  2. Лік, наступны за натуральным, таксама ёсць натуральным;
  3. 1 не йдзе ні за якім натуральным лікам;
  4. Калі натуральны лік a непасрэдна йдзе як за лікам b, так і за лікам c, то b і c тоесныя;
  5. Аксіёма індукцыі:
Калі якое-небудзь сцверджанне
а) даказана для 1 (база індукцыі),
б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку n, вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за n натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне),
то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.

МатэматычнаяПравіць

Увядзем функцыю  , якая супастаўляе ліку   наступны за ім лік.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  .

Даслоўны тэкстПравіць

Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:

  1. «0 ёсць натуральны лік»;
  2. «наступны за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
  3. «0 не йдзе ні за якім натуральным лікам»;
  4. «усякі натуральны лік ідзе толькі за адным натуральным лікам»;
  5. Аксіёма поўнай індукцыі.

Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

ГісторыяПравіць

Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.

ЛітаратураПравіць