Характарыстыка кальца

(Пасля перасылкі з Характарыстыка поля)

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку не існуе, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

АзначэннеПравіць

Няхай   — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік  , што для любога элемента   выконваецца роўнасць

 

то найменшы з такіх лікаў   называецца характарыстыкай кальца   і абазначаецца сімвалам  . Пры гэтым кальцо   называецца кальцом дадатнай характарыстыкі  .

Калі ж такіх лікаў   не існуе, то лічаць   і называюць   кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо   утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

 

калі ж такога n не існуе, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

ПрыкладыПравіць

УласцівасціПравіць

  • Калі кальцо   з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку  , то яна з'яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля   ёсть альбо  , альбо просты лік  . У першым выпадку поле   утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў  , у другім выпадку поле   утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў  . У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у  ).
  • Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў   і алгебраічнае замыканне поля  .
  • Калі  камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі  , то
     
для ўсіх  ,  . Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса(руск.) бел..

ЛітаратураПравіць

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.