Шанцы

Ша́нцы, або шанс (ад англ.: Odds) - лічбавае выражэнне, якое выкарыстоўваецца ў азартных гульнях і статыстыцы, каб адлюстраваць праўдападобнасць таго, што пэўная падзея адбудзецца. Шанцы выражаюцца ў выглядзе "А да Б", дзе А і Б, традыцыйна, з'яўляюцца цэлымі лікамі.

У азартных гульнях шанцы з'яўляюцца дзеллю паміж памерамі ставак бакоў, якія ўдзельнічаюць у закладзе або пары́. Такім чынам, «шанцы 6 да 1» азначаюць, што першы бок (звычайна букмекер) робяць стаўку ў шэсць разоў больш за другі бок.

У статыстыцы, шанцы ўяўляюць імавернасць таго, што падзея адбудзецца. Такім чынам, «шанцы 6 да 1» азначае, што існуе шэсць магчымых зыходаў, у кожным з якіх падзея не адбудзецца, і адзін зыход, калі падзея адбудзецца. Іншымі словамі, імавернасць таго, што падзея не адбудзецца, ў шэсць разоў больш за імавернасць таго, што падзея адбудзецца.

Выкарыстоўванне шанцаў у азартных гульнях і статыстыцы цесна ўзаемазвязана. Калі стаўкі з'яўляюцца справядлівым, то шанцы, прапанаваныя для бакоў, выдатна адлюстроўваюць адносныя імавернасці. Калі шанцы, прапанаваныя для гульцоў не адпавядаюць імавернасцям, то адзін з бакоў у пары́ (закладзе) мае перавагу над другім.

Тэрміналогія

Шанцы выражаюцца ў выглядзе «А да Б», дзе А і Б з'яўляюцца цэлымі лікамі. Для прастаты выкарыстання, слова "да" пры напісанні замяняецца на сімвал касой рысы «/» або «\», працяжніка «-» або двукроп'я «:» . Такім чынам, «6/1», «6-1» і «6:1» ўзаемазаменныя напісанні «шанцы 6 да 1».

Шанцы супраць

Калі імавернасць таго, што падзея не адбудзецца большая за імавернасць таго, што падзея адбудзецца, то для ўдакладнення можна выкарыстоўваць фразу «шанцы супраць». Так, запіс шанцаў «6 да 1» (6 супраць падзеі і 1 за) можна ўдакладніць да запісу «6 да 1 супраць». Для гульца, «шанцы супраць» азначаюць з аднаго боку, што колькасць выйгрышу можа большай, чым стаўка, з другога боку — стаўка можа выйграць з меншай імавернасцю, чым прайграць.

Шанцы за

Запіс «шанцы за» з'яўляюцца поўнай супрацьлегласцю запісу «шанцы супраць», і выкарыстоўваецца калі падзея хутчэй за ўсё адбудзецца. Гэта вызначаецца або меншай першай лічбай у запісу («1 да 2»), або выкарыстоўваць постфікс «за» («2 да 1 за»). Звярніце ўвагу, што гулец, які ставіць на «шанцы за» і перамагае, будзе у прыбытку: ён атрымае і выйгрыш (але меншы за стаўку) і сваю стаўку. Напрыклад, калі шанцы «2 да 1 за», а гулец ставіць 200 рублёў, то калі стаўка выйграе, ён атрымлівае 100 рублёў па стаўцы і саму стаўку ў памеры 200 рублёў (усё разам - 300 рублёў).

Выкарыстоўванне ў статыстыцы

Шанцы здзяйснення той ці іншай падзеі або прапановы ўяўляюць сабой дзель імавернасці таго, што падзея адбудзецца, да імавернасці таго, што падзея не адбудзецца. Напрыклад, шанцы таго, што выпадкова абраным днём тыдня будзе нядзеля роўны 1/(7-1) = «1/6» або «1:6» — 1 выпадак выйгрышны, 6 нявыйгрышных.

Шанцы трэба не блытаць з імавернасцю: імавернасць таго, што выпадкова абраным днём тыдня разлічваецца як дзель паміж выйгрышных выпадкаў (1 дзень) да ўсіх магчымых варыянтаў (як выйгрышных, так і нявыйгрышных — 7 дзён). Такім чынам, імавернась таго, што выпадкова абраным днём тыдня будзе нядзеля роўна 1/7.

Шанцы з'яўляюцца выразам адносных імавернасцей. Часцей «шанцамі» паказаны шанцы супраць, а не шанцы за. Напрыклад, імавернасць таго, што выпадкова абраным днём тыдня будзе нядзеля роўна 1/7, такім чынам, шанцы за тое, што выпадковы дзень прыпадае на нядзелю роўны 1:6. І наадварот, шанцы супраць таго, што выпадковы дзень прыпадае на нядзелю роўны 6:1. Першы выраз абазначае колькасць спосабаў, якія не дазваляюць дасягнуць зыходу, другі выраз — колькасць спосабаў дасягнення спрыяльнага зыходу.

Часам, у тэорыі імавернасцей і байесаўскай статыстыцы, выкарыстоўванне шанцаў можа быць больш зручнымі і натуральным, чым выкарыстоўванне імавернасцей. Гэта здараецца пры вырашэнні задач паслядоўнага прыняцця рашэнняў, напрыклад, у задачах на спыненне (у рэальным часе) на апошняй канкрэтнай падзеі. Гэтая задача вырашаецца з дапамогай алгарытму шанцаў.

Матэматычна, шанцы — гэта адносіны імавернасцей — дзель імавернасці здзяйснення падзеі да імавернасці нездзяйснення той жа самай падзеі, адваротная імавернасць. Працягваючы, адносіны шанцаў — дзель шанцаў адной падзеі да шанцаў другой. Або іншымі словамі, адносіны шанцаў — дзель дзелі імавернасцей, або адносіны адносін імавернасці да імавернасці:

$OR={\frac {Odds_{1}}{Odds_{2}}}={\frac {\frac {p_{1}}{q_{1}}}{\frac {p_{2}}{q_{2}}}}={\frac {\frac {p_{1}}{(1-p_{1})}}{\frac {p_{2}}{(1-p_{2})}}}$

дзе OR — Адносіны шанцаў падзей 1 і 2; $Odds_{1}={\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}}{(1-p_{1})}}$ — шанцы падзеі 1; суадносна $Odds_{2}={\frac {p_{2}}{q_{2}}}={\frac {p_{2}}{(1-p_{2})}}$ — шанцы падзеі 2; $p_{1},p_{2}$ — суадносна імавернасці здзяйснення падзей 1 і 2; $q_{1}=(1-p_{1}),q_{2}=(1-p_{2})$ — суадносна імавернасці нездзяйснення, адваротныя імавернасці, падзей 1 і 2.

Адносіны шанцаў часта выкарыстоўваюцца пры аналізе клінічных выпрабаванняў.

Цікавы прыклад

Трэба ўлічваць, што поруч з карыснымі матэматычнымі ўласцівасцямі, адносныя шанцы могуць бянтэжыць «нелагічным», з першага погляду, вынікамі. Напрыклад, у нас есць падзея з 80% імавернасцю і падзея з 20% імавернасцю. Інтуітыўна мы параўноўваем імавернасці $_{p_{1}/p_{2}=80\%/20\%}$ друг з другам і бачым, што падзея 1 адбываецца ў чатыры разы больш імаверна за падзею 2. Але калі мы вылічым адносіны шанцаў, то убачым, што больш імаверная падзея 1 будзе адбывацца ў 16 разоў часцей за падзею 2.

$OR={\frac {Odds_{1}}{Odds_{2}}}={\frac {\frac {80\%}{1-80\%}}{\frac {20\%}{1-20\%}}}={\frac {4}{0,25}}=16$

Чаму так адбываецца? Па-першае, трэба ўлічваць, што падзея 1 і падзея 2 не звязаны адна з другой, яны незалежныя. Па-другое, факт таго, што сума іх імавернасцей роўна 100%, і суадносна яны роўны адваротным імавернасцям друг друга ($_{p_{1}=1-p_{2}=q_{2}}$ і наадварот) — умова канкрэтнага прыклада. Таму відавочнае, інтуітыўнае параўнанне, якое мы зрабілі спачатку памылковае.