Імавернасная прастора

У тэорыі імавернасцей імавернасная прастора або імавернасная тройка  — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль выпадковага[en] працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаў[1]:12:

  1. Прасторы элементарных падзей  — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
  2. Алгебры падзей , дзе падзеямі называюцца падмноствы .
  3. Імавернаснай меры[en] , якая супастаўляе кожнай падзеі з пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара называецца вымернай прасторай[en][1]:68.

Прыклад дыскрэтнай імавернаснай прасторы

правіць

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубіках[1]:20-21. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд

 

Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі  :

  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
                       

Алгебрай падзей   будзе мноства ўсіх падмностваў  . Імавернасць некаторай падзеі   зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у  :

 

Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як  . Імавернасць такой падзеі роўная

 
 
 

Геаметрычная імавернасць

правіць

Няхай   і   мае канечны дадатны  -мерны аб'ём, які пазначым праз  . Праз   пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу[en] падмностваў  . За імавернасць падзеі   прымаецца лік

 

дзе праз   пазначаны  -мерны аб'ём (мера Лебега) мноства  .

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца геаметрычнай імавернасцю[1]:24-25. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства   і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.

Зноскі

  1. а б в г Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.