Дзялімасць

Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

Азначэнне

Калі для некаторага цэлага ліку $a$ і цэлага ліку $b$ існуе такі цэлы лік $q$, што $bq=a,$ то кажуць, што лік $a$ дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на $b$ або што $b$ дзеліць $a.$

Пры гэтым лік $b$ называецца дзельнікам ліку $a$, дзеліва $a$ будзе кратным ліку $b$, а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

Абазначэнні

• Запіс $a\,\vdots \,b$ абазначае, што $a$ дзеліцца на $b$, ці, што тое самае, лік $a$ кратны ліку $b$.
• Запіс $b\mid a$ ці $b\setminus a$ абазначае, што $b$ дзеліць $a$, ці, што тое ж: $b$ — дзельнік $a$.

Звязаныя азначэнні

• У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
• У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
• Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
• Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку $a$ на цэлы лік $b\neq 0$, лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:

  $a=b\,q+r,$

  дзе $0\leq r<|b|$.

У гэтых суадносінах лік $q$ называецца няпоўнаю дзеллю, а лік r — астачаю ад дзялення $a$ на $b$. Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.

Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.

• Усякі лік, які дзеліць як $a$, так і $b$, называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Уласцівасці

Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што a, b, c — цэлыя лікі.

• Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:

$0\,\vdots \,a.$

• Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:

$a\,\vdots \,1.$

• На нуль дзеліцца толькі нуль:

$a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0$,

прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

• Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:

$1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.$

• Для любога цэлага ліку $a\neq 0$ знойдзецца такі цэлы лік $b\neq a,$ для якога $b\,\vdots \,a.$
• Калі $a\,\vdots \,b$ і $\left|b\right|>\left|a\right|,$ то $a\,=\,0.$ Адсюль жа вынікае, што калі $a\,\vdots \,b$ і $a\neq 0$ то $\left|a\right|\geq \left|b\right|.$
• Для таго каб $a\,\vdots \,b$ неабходна і дастаткова, каб $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$
• Калі $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ то $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$
• Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
  • рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе: $\quad a\,\vdots \,a.$
  • транзітыўнае, г. зн. калі $a\,\vdots \,b$ і $b\,\vdots \,c,$ то $a\,\vdots \,c.$
  • антысіметрычнае, г. зн. калі $a\,\vdots \,b$ і $b\,\vdots \,a,$ то альбо $a\,=\,b,$ альбо $a\,=\,-b.$

Лік дзельнікаў

Асноўны артыкул: Лік дзельнікаў

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку $n$ звычайна абазначаецца $\tau (n)$ і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

$\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right),$

дзе $\gamma$ — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для $\theta$ Дзірыхле атрымаў значэнне ${\frac {1}{2}}.$ Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік $\theta ={\frac {131}{416}}$ (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне $\theta$, пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым ${\frac {1}{4}}$).

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку n у сярэднім расце як ${\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}$, што было выяўлена А. Карацубам. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва

$c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0,7138067$.

Абагульненні

Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

Гл. таксама

• Дзяленне з астачай
• Прыкметы дзялімасці
• Дзяленне
• Параўнанне па модулю
• Колца
• Фактарызацыя

Літаратура

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6. Архівавана 18 ліпеня 2020.

Спасылкі

• Відэа пра дзялімасць