Дзяленне з астачай

Дзяленне з астачай (дзяленне па модулю, знаходжанне астачы ад дзялення) — арыфметычная аперацыя, від аперацыі дзялення, вынікам якой з'яўляюцца два цэлыя лікі: няпоўная дзель і астача ад дзялення цэлага ліку на другі цэлы лік.

Астача ад дзялення ўтвараецца, калі вынік дзялення нельга выразіць цэлым лікам, пры гэтым астача ад дзялення павінна быць па абсалютнай велічыні меншаю за дзельнік. У выпадку, калі лікі дзеляцца адзін на аднаго без астачы, лічаць, што астача роўная нулю. Тэрмін ужываецца таксама пры дзяленні мнагачленаў.

Азначэнне

Натуральныя лікі

Падзяліць цэлы лік $a\,$ на натуральны лік $0<b<a\,$ з астачай азначае прадставіць яго ў выглядзе:

$a=b\,q+r,\quad 0\leqslant r<b\quad (q\in \mathbb {Z} ,\,r\in \mathbb {Z} ).$

Пры гэтым q называецца няпоўнаю дзеллю, а r — астачаю ад дзялення a на b.

Прыклад:

• Пры дзяленні з астачаю дадатнага ліку $a=78$ на $b=33$ атрымліваем няпоўную дзель $q=2$ і астачу $r=12$. Праверка: $78=33\cdot 2+12.$

Абагульненні

Цэлыя лікі

Формула

$r=a-\lfloor a/b\rfloor \cdot b$

абагульняе паняцце астачы на выпадак дзялення цэлага ліку $a$ на цэлы лік $b$. Пры гэтым выконваюцца суадносіны $a=bq+r$ і няроўнасць $0\leqslant |r|<|b|$.

Прыклады:

• раз астачай называецца неадмоўны лік, які ў суме са здабыткам няпоўнае дзелі і дзельніка дае дзеліва, то матэматычна дакладным будзе наступнае рашэнне:

Пры дзяленні з астачаю адмоўнага ліку math>a = -78</math> на $b=33$ атрымліваем няпоўную дзель $q=-3$ і астачу $r=21$. Праверка: $-78=33\cdot (-3)+21.$

• пры дзяленні з астачаю дадатнага ліку $a=17$ на $b=33$ атрымліваем няпоўную дзель $q=0$ і астачу $r=17$. Праверка: 1$17=33\cdot 0+17.$

Рэчаісныя лікі

Любы рэчаісны лік $a$ можна без астачы падзяліць на любы ненулявы рэчаісны лік $b$. Пры гэтым дзель таксама будзе рэчаісным лікам. Калі ж дзель па ўмове павінна быць цэлым лікам, у гэтым выпадку астача будзе рэчаісным лікам, гэта значыць можа аказацца дробным лікам.

Фармальна:

калі $a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0$, то $~a=pb+q$, дзе $0\leqslant q<|b|$

Прыклад:

$~7{,}9:2{,}1=3$ (астача 1,6)

Мнагачлены

Пры дзяленні двух мнагачленаў $f(x)$ і $g(x)$ ступень рэшткавага мнагачлена павінна быць строга меншаю за ступень дзельніка:

$f(x)=q(x)g(x)+r(x),$

прычым $\deg(r)<\deg(g).$

Прыклад:

$2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3$

(астача 3).

Гл. таксама

• Дзялімасць