Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

АзначэннеПравіць

Калі для некаторага цэлага ліку   і цэлага ліку   існуе такі цэлы лік  , што   то кажуць, што лік   дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на   або што   дзеліць  

Пры гэтым лік   называецца дзельнікам ліку  , дзеліва   будзе кратным ліку  , а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

АбазначэнніПравіць

  • Запіс   абазначае, што   дзеліцца на  , ці, што тое самае, лік   кратны ліку  .
  • Запіс   ці   абазначае[1], што   дзеліць  , ці, што тое ж:   — дзельнік  .

Звязаныя азначэнніПравіць

  • У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць па крайняй меры два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
  • У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
  • Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
  • Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку   на цэлы лік  , лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:
     
    дзе  .
У гэтых суадносінах лік   называецца няпоўнаю дзеллю, а лік rастачаю ад дзялення   на  . Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.
Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.
  • Усякі лік, які дзеліць як  , так і  , называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

УласцівасціПравіць

Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што a, b, c — цэлыя лікі.
  • Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:
 
  • Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:
 
  • На нуль дзеліцца толькі нуль:
 ,
прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.
  • Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:
 
  • Для любога цэлага ліку   знойдзецца такі цэлы лік   для якога  
  • Калі   і   то   Адсюль жа вынікае, што калі   і   то  
  • Для таго каб   неабходна і дастаткова, каб  
  • Калі   то  
  • Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
    • рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе:  
    • транзітыўнае, г. зн. калі   і   то  
    • антысіметрычнае, г. зн. калі   і   то альбо   альбо  

Лік дзельнікаўПравіць

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку   звычайна абазначаецца   і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

 

дзе  пастаянная Эйлера — Маскероні, а для   Дзірыхле атрымаў значэнне   Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік   (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне  , пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым  )[2][3][4].

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку n у сярэднім расце як  , што было выяўлена А. Карацубам[5]. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва

 .

АбагульненніПравіць

Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

Гл. таксамаПравіць

Зноскі

  1. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Глава 4. Элементы теории чисел // Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. — С. 125.
  2. А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
  3. Аналитическая теория чисел
  4. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  5. В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

ЛітаратураПравіць

СпасылкіПравіць