Вектарная прастора
Ве́ктарная (ці ліне́йная) прасто́ра — матэматычная структура, якая ўяўляе сабой набор элементаў, званых вектарамі, для якіх вызначаны аперацыі складання адзін з адным і множання на лік — скаляр[1]. Гэтыя аперацыі падпарадкаваныя васьмі аксіёмам. Скаляры могуць быць элементамі рэчаіснага, камплекснага або любога іншага поля лікаў. Прыватным выпадкам падобнай прасторы з’яўляецца звычайная трохмерная эўклідавае прастора, вектары якой выкарыстоўваюцца, да прыкладу, для прадстаўлення фізічных сіл. Пры гэтым варта адзначыць, што вектар, як элемент вектарнай прасторы, не абавязкова павінен быць зададзены ў выглядзе накіраванага адрэзка. Абагульненне паняцця «вектар» да элемента вектарнай прасторы любой прыроды не толькі не выклікае змяшэння тэрмінаў, але і дазваляе ўразумець ці нават прадбачыць шэраг вынікаў, справядлівых для прастор адвольнай прыроды[2].
Вектарныя прасторы з’яўляюцца прадметам вывучэння лінейнай алгебры. Адна з галоўных характарыстык вектарнай прасторы — яе памернасць. Памернасць ўяўляе сабой максімальны лік лінейна незалежных элементаў прасторы, гэта значыць, звяртаючыся да грубага геаметрычнага апісання, лік напрамкаў, невыразным адзін праз другі з дапамогай толькі аперацый складання і множання на скаляр. Вектарную прастору можна надзяліць дадатковымі структурамі, напрыклад, нормай або скалярным здабыткам. Падобныя прасторы натуральным чынам з’яўляюцца ў матэматычным аналізе, пераважна ў выглядзе бясконцамерных функцыянальных прастор, дзе ў якасці вектараў выступаюць функцыі. Многія праблемы аналізу патрабуюць высветліць, ці сыходзіцца паслядоўнасць вектараў да дадзенага вектару. Разгляд такіх пытанняў магчыма ў вектарных прасторах з дадатковай структурай, у большасці выпадкаў — прыдатнай тапалогіяй, што дазваляе вызначыць паняцце блізкасці і бесперапыннасці. Такія тапалагічныя вектарныя прасторы, у прыватнасці, банаховае і гільбертовае, дапускаюць больш глыбокае вывучэнне.
Акрамя вектараў, лінейная алгебра вывучае таксама тэнзары больш высокага рангу (скаляр лічыцца тэнзарам рангу 0, вектар — тэнзарам рангу 1).
Першыя працы, якія апярэдзілі ўвядзенне паняцця вектарнай прасторы, адносяцца да 17 стагоддзя. Менавіта тады сваё развіццё атрымалі аналітычная геаметрыя, вучэнне аб матрыцах, сістэмах лінейных ураўненняў, эўклідавых вектарах.
Гл. таксама правіць
Зноскі правіць
- ↑ Не варта блытаць паняцці «множанне на скаляр» і «скалярны здабытак».
- ↑ Ильин, Позняк 2010, с. 45.
Літаратура правіць
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука, 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
- Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
- Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
- Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (пераклад з нямецкага). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.