Бра і кет

⟨	∣	⟩
bra		ket
бра		кет
дуж		ка

Бра і кет (англ.: bracket - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

Азначэнне і выкарыстанне

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы ${\mathcal {H}},$ элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам $|\psi \rangle$.

Кожнаму кет-вектару $|\psi \rangle$ ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да ${\mathcal {H}},$ гэта значыць з ${\mathcal {H}}^{*}.$

Бра-вектар $\langle \psi |$ з прасторы ${\mathcal {H}}^{*}$азначаецца раўнаннем:

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ для любога кет-вектара $|\rho \rangle .$

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе ${\mathcal {H}}^{*}$ці ${\mathcal {H}}.$

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі$\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Лінейныя аператары

Калі $A\colon H\to H$ — лінейны аператар з $H$ у $H$, то дзеянне аператара $A$ на кет -вектар $|\psi \rangle$ запісваецца як $A|\psi \rangle .$

Для кожнага аператара $A$ і бра-вектара $\langle \varphi |$ уводзіцца функцыянал $(\langle \varphi |A)$ з прасторы ${\mathcal {H}}^{*},$ гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар $A$, што азначаецца роўнасцю:

${\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},$ для любого вектара $|\psi \rangle .$

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара $A$ з бра-вектарам $\langle \varphi |$ і кет-вектарам $|\psi \rangle .$ Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара $A$ ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — $A_{kl}$) запісваецца у абазначэннях Дырака як $\langle k|A|l\rangle ,$ а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане $\psi$ — як $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

$|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,$

$\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.$

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,$ дзе $H$ — гамильтаніян, а  $E$ — скаляр (энергія стану).

Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$ ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара $i|\psi \rangle$ ёсць бра-вектар $-i\langle \psi |$ (дзе $i$ — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана $\psi$ (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як $e_{k},$ у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: $\langle k|\;,\;|l\rangle .$ Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Матэматычныя ўласцівасці

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, ${\mathcal {H}}=R^{n},$ то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру $N\times 1$, бра-вектары — памеру $1\times N$, аператары — памеру $N\times N$, дзе $N$ — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы ${\mathcal {H}}$). Матрыцы памеру 1 × 1 маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

$\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_{N}\end{pmatrix}},$

дзе

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}$

Запіс тыпа $\langle \ldots \rangle$ заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: $\langle ,$ кет-вектар — дужку справа: $\rangle .$ Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку $|\varphi \rangle \langle \psi |$— (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар $|\psi \rangle \langle \varphi |$ мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам $|\psi \rangle$ і $\langle \varphi |.$ Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар $|\psi \rangle \langle \psi |$ (пры ўмове нарміроўкі $\langle \psi |\psi \rangle =1$) з'яўляецца праектарам на стан $\psi$, дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў ${\mathcal {H}}.$

Мае месца асацыятыўнасць:

$\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,$

$|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle$.

Літаратура

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.