bra ket
бра кет
дуж ка

Бра і кет (англ.: bracket - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

Азначэнне і выкарыстанне

правіць

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы   элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам  .

Кожнаму кет-вектару   ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да   гэта значыць з  

Бра-вектар   з прасторы  азначаецца раўнаннем:

  для любога кет-вектара  

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе  ці  

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе   дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны:   На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі 

Лінейныя аператары

правіць

Калі   — лінейны аператар з   у  , то дзеянне аператара   на кет -вектар   запісваецца як  

Для кожнага аператара   і бра-вектара   уводзіцца функцыянал   з прасторы   гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар  , што азначаецца роўнасцю:

  для любого вектара  

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста  

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара   з бра-вектарам   і кет-вектарам   Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара   ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях —  ) запісваецца у абазначэннях Дырака як   а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане   — як  

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

 
 

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

  дзе   — гамильтаніян, а    — скаляр (энергія стану).

Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных

правіць

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку   ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара   ёсць бра-вектар   (дзе   — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана   (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як   у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад:   Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Матэматычныя ўласцівасці

правіць

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад,   то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру  , бра-вектары — памеру  , аператары — памеру  , дзе   — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы  ). Матрыцы памеру 1 × 1 маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

  дзе  

Запіс тыпа   заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева:   кет-вектар — дужку справа:   Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку  — (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар   мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам   і   Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар   (пры ўмове нарміроўкі  ) з'яўляецца праектарам на стан  , дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў  

Мае месца асацыятыўнасць:

 
 .

Літаратура

правіць
  • Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
  • Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
  • Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.