Рад (матэматыка)

Простымі словамі, рад — гэта ўпарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай  — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:

які і называецца лікавым радам са складнікамі [1]

Будзем казаць, што рад

мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці яго частковых сум

Гэты ліміт

і называецца сумай рада[2].

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным[3].

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

  • лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
  • функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых шэрагаў.

АзначэннеПравіць

Няхай   — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

 

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

 

Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак

 

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

  • лікавы рад збягаецца, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
  • лікавы рад разбягаецца, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
  • лікавы рад збягаецца абсалютна, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт   паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

 

Аперацыі над радаміПравіць

Няхай зададзены збежныя рады   і  . Тады:

  • іх сумай называецца рад  
  • іх здабыткам па Кашы называецца рад  , дзе  

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

Крытэр абсалютнай збежнасціПравіць

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад   называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад  .

Рад   збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады   і  , дзе  

Доказ.

Калі збягаецца   то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца   і   Наадварот, калі сыходзяцца   і   то збягаецца і іх сума  

Гл. таксамаПравіць

Зноскі

  1. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.
  2. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.
  3. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.

ЛітаратураПравіць

  • Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — 544 с.
  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

СпасылкіПравіць