У матэматыцы, ступенны рад (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду

Раздзелы ў матэматычным аналізе
Фундаментальная тэарэма
Ліміт функцыі
Непарыўнасць
Тэарэма Лагранжа

дзе an — каэфіцыент пры n-м ступенным члене, c — пастаянная, а x прымае значэнні каля c (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад цэнтраваны ў c). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах c раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від

Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам x, роўным 110. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

Прыклады

правіць
 
Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых n+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).

Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра c, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен   можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта  :

 

ці ў наваколлі пункта  :

  

ці ў наваколлі любога іншага пункта c.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі

 

справядлівая пры  , — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі

 

і сінуса

 

справядлівыя для ўсіх рэчаісных x. Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад   не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад  , таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты   не павінны залежаць ад  , таму, напрыклад, выраз:

 

не з'яўляецца ступенным радам.

Радыус збежнасці

правіць

Ступенны рад можа для адных значэнняў x збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады f(x) па ступенях (x-c) будуць збягацца ў пункце x = c. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае f(c) = a0, трэба прыняць па азначэнню, што 00 роўны 1.) Калі c — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік r, 0 < r ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |xc| < r і разбягаецца пры |xc| > r. Лік r называецца радыусам збежнасці ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як

 

ці, што раўназначна, як   Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу

 

калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |xc| < r і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {x : |xc| < r}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.

Пры |xc| = r у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў x, калі рад збягаецца ў x. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае c і x.

Аперацыі над ступеннымі радамі

правіць

Складанне і адыманне

правіць

Калі дзве функцыі f і g раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта c, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:

 
 

то

 

Множанне і дзяленне

правіць

З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

 
 
 

Паслядоўнасць   вядома як згортка паслядоўнасцей   і  .

Для дзелі маем:

 
 

і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты dn.

Дыферэнцаванне і інтэграванне

правіць

Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

 
 

Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

Аналітычныя функцыі

правіць

Функцыя f, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве U мноства R ці C, называецца аналітычнаю, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта aU ёсць адкрытае наваколле VU, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам a, які збягаецца да f(x) для любога xV.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты an можна вылічыць па формуле

 

дзе  n-я вытворная функцыі f у пункце c, і  . Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі f і g дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве U, і існуе элемент cU, такі што f (n)(c) = g (n)(c) для ўсіх n ≥ 0, тады f(x) = g(x) для ўсіх xU.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці r, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі f, вызначаныя на мноствах, большых чым { x : |xc| < r }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік r з'яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік x на акружнасці |xc| = r, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.

Фармальныя ступенныя рады

правіць

У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.

Ступенныя рады ад некалькіх зменных

правіць

Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, ступенны рад — гэта бесканечны рад віду

 

дзе j = (j1, …, jn) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты a(j1,…,jn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр c = (c1, …, cn) і аргумент x = (x1, …, xn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

 

Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад   збягаецца абсалютна на мностве   паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад лагарыфмічна выпуклага мноства ў тым сэнсе, што мноства пунктаў  , дзе   ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

Гл. таксама

правіць

Літаратура

правіць
  • Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel (рэд.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Гусак А. А. Ступе́нны шэ́раг // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 223. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).

Спасылкі

правіць
  • Weisstein, Eric W.. Power Series. MathWorld.