Ступенны рад

У матэматыцы, ступенны рад (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду

Раздзелы ў матэматычным аналізе

Фундаментальная тэарэма Ліміт функцыі Непарыўнасць Тэарэма Лагранжа Дыферэнцыяльнае злічэнне Дыферэнцыял Вытворная Тэарэма Тэйлара Табліца вытворных Дыферэнцыяванне складанай функцыі Інтэгральнае злічэнне  Інтэграл Табліца інтэгралаў Неўласцівы інтэграл Метады інтэгравання Вектарны аналіз  Градыент Дывергенцыя Віхор Аператар Лапласа Тэарэма Грына Тэарэма Стокса Формула Астраградскага Функцыі некалькіх зменных  Частковая вытворная Кратны інтэграл Крывалінейныя інтэгралы Паверхневыя інтэгралы Матрыца Якобі

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}$$+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

дзе a_n — каэфіцыент пры n-м ступенным члене, c — пастаянная, а x прымае значэнні каля c (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад цэнтраваны ў c). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах c раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам x, роўным ¹⁄₁₀. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

Прыклады

Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых n+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).

Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра c, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен $f(x)=x^{2}+2x+3$ можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта $c=0$:

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

ці ў наваколлі пункта $c=1$:

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}$$+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

ці ў наваколлі любога іншага пункта c.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

справядлівая пры $|x|<1$, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

і сінуса

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

справядлівыя для ўсіх рэчаісных x. Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад $x^{1/2}$, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты $a_{n}$ не павінны залежаць ад $x$, таму, напрыклад, выраз:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$

не з'яўляецца ступенным радам.

Радыус збежнасці

Ступенны рад можа для адных значэнняў x збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады f(x) па ступенях (x-c) будуць збягацца ў пункце x = c. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае f(c) = a₀, трэба прыняць па азначэнню, што 0⁰ роўны 1.) Калі c — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік r, 0 < r ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |x − c| < r і разбягаецца пры |x − c| > r. Лік r называецца радыусам збежнасці ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

ці, што раўназначна, як $r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$ Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|,$

калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |x − c| < r і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {x : |x − c| < r}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.

Пры |x − c| = r у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў x, калі рад збягаецца ў x. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае c і x.

Аперацыі над ступеннымі радамі

Складанне і адыманне

Калі дзве функцыі f і g раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта c, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

то

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

Множанне і дзяленне

З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Паслядоўнасць $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ вядома як згортка паслядоўнасцей $a_{n}$ і $b_{n}$.

Для дзелі маем:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты d_n.

Дыферэнцаванне і інтэграванне

Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

$f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.$

Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

Аналітычныя функцыі

Функцыя f, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве U мноства R ці C, называецца аналітычнаю, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта a ∈ U ёсць адкрытае наваколле V ⊆ U, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам a, які збягаецца да f(x) для любога x ∈ V.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты a_n можна вылічыць па формуле

$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$

дзе $f^{(n)}(c)$ — n-я вытворная функцыі f у пункце c, і $f^{(0)}(c)=f(c)$. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі f і g дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве U, і існуе элемент c∈U, такі што f ⁽ⁿ⁾(c) = g ⁽ⁿ⁾(c) для ўсіх n ≥ 0, тады f(x) = g(x) для ўсіх x ∈ U.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці r, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі f, вызначаныя на мноствах, большых чым { x : |x − c| < r }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік r з'яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік x на акружнасці |x − c| = r, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.

Фармальныя ступенныя рады

Асноўны артыкул: Фармальны ступенны рад

У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.

Ступенныя рады ад некалькіх зменных

Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, ступенны рад — гэта бесканечны рад віду

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

дзе j = (j₁, …, j_n) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты a_(j1,…,jn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр c = (c₁, …, c_n) і аргумент x = (x₁, …, x_n) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.$

Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад $\sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}$ збягаецца абсалютна на мностве $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад лагарыфмічна выпуклага мноства ў тым сэнсе, што мноства пунктаў $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$, дзе $(x_{1},x_{2})$ ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

Гл. таксама

• Тэарэма Тэйлара
• Рад Тэйлара
• Лінейнае прыбліжэнне

Літаратура

• Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel (рэд.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Гусак А. А. Ступе́нны шэ́раг // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 223. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Formal Power Series (нявызн.). MathWorld.

• Weisstein, Eric W.. Power Series (нявызн.). MathWorld.

• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.